2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287021
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| Research Institution | Tokyo Gakugei University |
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Principal Investigator |
溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (00251570)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
仙葉 隆 九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30196985)
高田 了 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (50713236)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 爆発 / 走化性 / 特異性 / type II / 流体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Keller-Segel系の変数変換に関する質量不変性を保持する高次元版は退化臨界型Keller-Segel系である。この系は宇宙物理と関連がある。有限時間での爆発解の存在は球対称の場合に研究代表者とPh.Laurencot氏との共同研究で証明された。爆発解の定性的な研究の第１段階は爆発の型を知ることである。ここでタイプIの爆発は自己相似解と同じ速度での爆発、それ以外の爆発はタイプIIに分類される。研究代表者はLaurencot氏と石毛和弘氏との共同研究で、この系におけるすべての爆発はタイプIIであることを証明した。また、特異性がデルタ関数として起こることも証明した。
研究代表者は本来のKeller-Segel系（２次元非退化）についてもタイプIIの爆発しか起こらないことを一般の場合に証明した。そこでは、流体の方程式であるNavier-Stokes方程式に関して得られた後方一意性定理が重要な役割を果たした。この証明で開発された手法はこれまでの爆発問題とは全く異なるアイディアをもとにしており、他の方程式や方程式系への応用が期待される。
研究分担者の仙葉隆氏は一般化された感応関数(生物を刺激する化学物質の濃度や濃度勾配と生物の反応の強さの関係を表す関数)を持つ走化性方程式の解について研究を行い、２次元の放物型-楕円型方程式系において爆発解を持たない感応関数の条件を得た。
研究分担者の高田了氏は安定成層の影響を考慮した Boussinesq 方程式に関する研究を行い、安定成層に対応した歪対称線形作用素から生成される時間発展作用素に対して最適な時間減衰評価および最適な時空積分評価を導出し、初期値問題に対する時間大域的適切性を考察した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高次元の退化臨界型のKeller-Segel系において爆発解の存在とともにその挙動に関する定性的な研究を行い、解の爆発の速度がかならずタイプIIになることを証明した。退化していない場合には単独の半線形熱方程式やシュレディンガー方程式における既存の方法を用いて特別なタイプIIの爆発解が得られていたが、退化した方程式系では全く結果がなかった。また、退化臨界型のKeller-Segel系では単純化された系ではタイプIの爆発をするような解が構成されていたので、この結果は現象を解明するうえで重要な進展に寄与すると思われる。
一方、流体の方程式であるナヴィエ・ストークス方程式との関連も考察した結果、２次元非退化放物型―放物型方程式系においてもすべての爆発はタイプIIであることを証明した。一見すると退化している方が難しいように見えるが実際はそうではなく、数学的にはこちらの証明の方がはるかに困難である。この証明はこれまでの爆発問題とは逆の発想による全く新しいものである。
全体的にみて、順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
単独の放物型方程式を扱う手法は比較定理をはじめとして数多くある。それらは非常に有効であるが、走化性方程式系、ナヴィエ・ストークス方程式などのいくつかの方程式からなる方程式系（システム）には適用できない。この数年間、Keller-Segel系（走化性方程式系）においても、システムとしての扱いが数学的に困難だったので、単独の方程式に帰着させることが可能な単純化されて方程式系が導入された膨大な数の論文が発表された。しかしながら、研究代表者がブレイクスルーとなる結果を発表するまでは、本来の放物型―放物型方程式系の爆発問題は全く手つかずの状態で未解決のままだった。
重要な問題を解決するためには、全く新しいアイディアが必要である。また、他の方程式の専門家との議論や共同研究によってさらに進展させることができる。最近、ナヴィエ・ストークス方程式の著名な研究者であるV. Sverak氏と関連する問題について議論している。また、彼のポスドクの協力を得て数値解析的な手法も取り入れている。これまで交流のなかった分野の研究者からの本研究への関心は研究の幅を広げ新たな視点での研究の進展の助けになると考えられる。得られた研究成果を海外でも発表し、優れた研究者と直接の議論する機会を可能な限り作りながらそれを本研究に有意義に活用する。
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| Causes of Carryover |
退化臨界型Kelle-Segl系の爆発の研究が予想した以上に進み、出来るだけ早く論文の形で発表した方が良いと考えたので国内出張の回数を減らして集中してそれに取り組んだ。また、そのために他分野の専門家との協働の時間も取れなかったので謝金を必要とせず、研究集会を開催するために海外の研究者を招聘することもしなかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究を進めていく過程で，ナヴィエ・ストークス方程式との関連もあることが分かり、研究分担者である若手の研究者だけでなく豊富な知識と経験をもつ研究者が必要になった。世界的にも著名なV. Sverak氏の協力を得ることができるようになり、次年度以降に彼との議論のためにできるだけ多く海外出張する必要があるのでそのために使用する。また、Sverak氏との交流を通じて新たな研究協力者の出現も期待できるので、その場合の招聘等の費用にも充てる。
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