2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287022
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 超局所解析 / 偏微分方程式 / 定量的解析 / フーリエ積分作用素 / 関数空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究は、偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において、超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し、偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである。それを具現化する道具としてのフーリエ積分作用素論とその理論の枠組みとしての関数空間論の整備を基本課題に据え、さらには、より一般の偏微分方程式に対する様々な基本的評価式を導出しその諸性質を考察するという応用課題に取り組むことによって、その方法論の有効性を実証していく。これは、偏微分方程式論における調和解析学の成果の積極的な利用という近年における世界的な動向に対し、さらに超局所解析の視点を融合させる独創的な試みである。
今年度は、昨年度までに研究成果が上がってきた研究課題の中でも特に「課題１．フーリエ積分作用素の大域的な Lp-有界性の理論の構築」と「課題２．シュレディンガー方程式に対する平滑化評価式における最良定数」の二つの課題に着目し、それらに対する研究を発展させた。課題１に対しては、これまで Ruzhansky 氏との共同研究により、より一般の相関数に対する大域的な Lp-有界性を示してきたが、その際に用いた議論をモチーフとして、一般の積分作用素において局所的な有界性から大域的な有界性が導かれるための一般論の構築を行った。この理論からも既存のフーリエ積分作用素の有界性定理が導かれるが、他の様々な作用素においても意味のある応用を持つものと期待しており、引き続き研究を継続していきたい。課題２に対しては、これまで Bez 氏らとの共同研究によりシュレディンガー方程式に対する様々なタイプの平滑化評価式の最良定数を決定してきたが、これら最良定数の表現とシュレディンガー方程式の適切性に対する竹内-溝畑予想との関連性をさらに明らかにすべく、まずは基礎研究に終始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
基本課題に関しては、これまでにフーリエ積分作用素の大域的な有界性に関する基本的な性質が解明できており、ほぼ計画通りの進捗状況である。応用課題に関しては、非分散型方程式に対しても平滑化評価式を一般化した不変評価式が成立することを解明しており、さらにはその最良定数に関する新しい知見を得るなど、当初の予定以上の進展をみせている。他の応用課題に対してはまだ着手できていないが、総じて順調に進展しているものと判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本課題および応用課題の一部においては、これまでに当初の計画以上の進展をみせており、今後はこれらの成果をさらに発展させるとともに、他の未着手の応用課題にも精力的に取り組んで行きたい。すなわち、より一般の偏微分方程式に対して、Strichartz 評価式、Morawetz 評価式、Carleman 評価式などのさまざまな基本的評価式を導出し、それをもとに解の一意接続性や対応する非線形初期値問題の時間大域解の存在などを考察していきたい。
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| Causes of Carryover |
今年度は研究支援者1名を雇用したが、予定よりかなり早く次のポスドクのポジションに採用されたため、雇用を約3ヶ月程度で打ち切ることとなり、それに伴い経費の大幅な残額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度開催予定の名古屋微分方程式研究集会の規模を拡大して国際研究集会とし、海外から多数の講演者を招待することにより、昨年度未使用分をその招聘旅費として使用する予定である。
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