2016 Fiscal Year Annual Research Report
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26287022
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 超局所解析 / 偏微分方程式 / 定量的解析 / フーリエ積分作用素 / 関数空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究は、偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において、超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し、偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである。それを具現化する道具としてのフーリエ積分作用素論とその理論の枠組みとしての関数空間論の整備を基本課題に据え、さらには、より一般の偏微分方程式に対する様々な基本的評価式を導出しその諸性質を考察するという応用課題に取り組むことによって、その方法論の有効性を実証していく。これは、偏微分方程式論における調和解析学の成果の積極的な利用という近年における世界的な動向に対し、さらに超局所解析の視点を融合させる独創的な試みである。
今年度は、これまで研究成果が上がってきているシュレディンガー方程式に対する平滑化評価式や、その双対としての制限定理に関する研究を発展させるべく、「課題1：非斉次シュレディンガー方程式の平滑化評価式に対する最良定数」および「課題2：最良評価式の安定性」の2課題に関して様々な考察をおこなった。課題１に対しては、これまで Bez 氏らとの共同研究によりシュレディンガー方程式に対する様々なタイプの平滑化評価式の最良定数を決定してきたが、これらはいずれも斉次方程式の場合に限られており、その手法は非斉次方程式の場合には必ずしも適用できない。今年度は何が本質的な困難であるのかを探るべく、さまざまな試行を行った。これに関しては、今後も研究を継続していく。課題２は、最良の評価式とその等号成立条件が与えられているとき、「評価式が等号に近い関数は等号成立条件にも近いであろうか？」という一般的な問題を扱ったものであり、やはり Bez 氏らとの共同研究により、古典的な球面への制限定理の場合にひとつの肯定的な解答を与えることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
基本課題に関しては、フーリエ積分作用素の大域的な有界性に関して様々な角度からの研究がすすんでおり、ほぼ計画通りの進捗状況である。応用課題に関しては、平滑化評価式に関する研究が突出して進展している。他の応用課題に関してはあまり目立った進展はみられないが、総じて順調に進展しているものと判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
応用課題の進捗状況にアンバランスがみられることから、今後はこれまで進展のなかった課題に対しても重点的な取り組みによりある程度の成果を得ることを目指す。すなわち、基本課題の成果を応用する形で、Strichartz 評価式やMorawetz 評価式などの基本評価式を導出する新しい方法論を追求していきたい。
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| Causes of Carryover |
今年度開催した名古屋微分方程式研究集会は、他業務の日程などの関係上2日間のみの開催を余儀なくされ、当初予定していた海外からの研究者の招聘を控えざるをえなくなった。これに伴い、経費の大幅な残額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度開催予定の名古屋微分方程式研究集会は、その規模を拡大して多数の講演者を海外から招聘することを計画しており、これにより昨年度未使用分を消化していきたい。
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