2015 Fiscal Year Annual Research Report
反応拡散系および自由境界問題の解のパターンダイナミクスの解明
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26287024
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
二宮 広和 明治大学, 総合数理学部, 教授 (90251610)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
飯田 雅人 宮崎大学, 工学部, 教授 (00242264)
矢崎 成俊 明治大学, 理工学部, 教授 (00323874)
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (00360967)
谷口 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30260623)
三竹 大寿 広島大学, サステナブル・ディベロップメント実践研究センター, 特任講師 (90631979)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 反応拡散系 / パターン形成 / 自由境界問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
反応拡散系などの非線形偏微分方程式系の特異極限問題として現れる自由境界問題から，より扱いやすい自由境界問題を導出し，その自由境界問題から形状に関する情報を得る数学的手法の開発および形状のもつ性質を調べることを目的としている．テーマ１：自由境界問題と場の方程式の結合系から形状に関する情報を得る手法の開発；テーマ２：形状のもつ性質とその制御；テーマ３：反応拡散系と自由境界問題の関係の３つのテーマについて研究を行っている．
まず，テーマ１に関しては，移動境界の法線速度が場の変数によって決まるHamilton-Jacobi方程式と移動領域に依存する場の方程式よりなる結合系を取り上げ，多次元進行スポット解の構成に成功した．また，連携研究者・物部と運動性細胞の形状に関する問題の凸進行領域の作成にも成功した．分担者・三竹はHamilton-Jacobi方程式の解の大域挙動について調べた．
テーマ２に関しては，法線方向によって決まる外力付きの平均曲率流の進行波解とその進行方向の関係を調べることにより，制御方法について考察する研究をはじめた．分担者・高坂は， 曲面の発展方程式である表面拡散方程式の解の安定性の条件について調べた．
テーマ３に関しては，「自由境界問題と場の方程式の結合系」という枠組みを考え，まず空間1次元の場合の解のダイナミクスを調べている．いくつかの結果を得ることに成功し，現在，論文にまとめているところである．また，粘性解の手法を用いて，解のダイナミクスに関する情報を得るために有用な特異極限問題を考察し，その解の存在を示しているところである．また，分担者・飯田，連携研究者・物部らとある種の反応拡散系の特異極限問題から表れる新しい自由境界問題に関して研究を行い，論文を投稿した．分担者・谷口は，Allen-Cahn方程式の多次元進行波解とその切り口の形状に関する研究を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
テーマ１に関しては，Hamilton-Jacobi方程式と移動領域に依存する場の方程式よりなる結合系の解の存在について，現在も研究を継続している．1次元空間の場合の研究は進んだが，多次元の場合についての考察が遅れている．多次元進行スポット解の構成や回転スポット解の構成に成功しており，順調に進展している．
テーマ２に関しては，概要に記したように新しい手法を開発中であり，現在，論文をまとめるところにまで研究を進めており，概ね順調である．
テーマ３に関しては，ある種の反応拡散系の特異極限問題から表れる新しい自由境界問題に関して研究を行い，成果を得ており，概ね順調である．
なお，ポスト・ドクターの採用が遅れていたが，2016年度に採用することになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
テーマ１の局所解の存在に関しては，2016度重点的に進めていく予定である．1次元の場合は，これまでの研究で問題の本質を捉えることができた．以降は，多次元に焦点を絞って進めていく．その他のテーマに関しては概ね順調である．計画にない新しい手法の適応も行っているが，ほぼ計画通りに進めていく予定である．
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| Causes of Carryover |
研究補助員(ポスト・ドクター)の雇用が遅れているため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年度に研究補助員(ポスト・ドクター)の雇用を行う．
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