2016 Fiscal Year Annual Research Report
反応拡散系および自由境界問題の解のパターンダイナミクスの解明
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26287024
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
二宮 広和 明治大学, 公私立大学の部局等, 教授 (90251610)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
飯田 雅人 宮崎大学, 工学部, 教授 (00242264)
谷口 雅治 岡山大学, その他部局等, 教授 (30260623)
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (00360967)
矢崎 成俊 明治大学, 理工学部, 教授 (00323874)
三竹 大寿 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (90631979)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / パターンダイナミクス / 進行波解 / 全域解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多次元空間上の非線形偏微分方程式系には空間パターンをもった解は数値的，実験的に多く観察されているにもかかわらず，数学的に解の形状に関する情報を得る研究はこれまで進んでいなかった．反応拡散系（拡散項と反応項のみからなる半線型放物型方程式系）などの非線形偏微分方程式系の特異極限問題として現れる自由境界問題から，より扱いやすい自由境界問題を導出し，その自由境界問題から形状に関する情報を得る数学的手法の開発および形状のもつ性質を調べることが本研究の目的である．以下の3つのテーマについて研究を進めている．
テーマ１：界面方程式と場の方程式の結合系から形状に関する情報を得る手法の開発
テーマ２：形状のもつ性質とその制御
テーマ３：反応拡散系と自由境界問題の関係
テーマ1では，移動境界の法線速度が場の変数によって決まる界面方程式（等高面法を介してHamilton-Jacobi方程式）と移動領域に依存する場の方程式よりなる結合系という概念を導入し，その方程式の進行波解や回転スポット解の構成に成功した．テーマ2については，障害物によるスパイラル波の自発的生成についての研究を行った．また，異方性のある曲率流問題において，進行波解の存在とその凸性を調べた．また，不安定であることも示し，現在，論文にまとめているところである．テーマ3では，界面方程式と場の方程式の結合系の解を近似解として用いることで，反応拡散系など非線形放物型偏微分方程式系の解を構成について着手し始めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
テーマ１については，Hamilton-Jacobi方程式系の連立系について，大域解の存在非線形項についての条件を調べ，ある程度の情報を得ることに成功した．一部遅れている部分もあるが，現在解決の見通しもたったため，予定通り進んでいると判断できる．また，テーマ1での手法は，多次元平均曲率流を扱う新しい手法の開発にも応用できることが分かってきており，当初予定より進んでいる内容もある．さらに，結合系の回転スポット解の構成に成功した．テーマ2に関しては，上述の結果に加えて，数値計算により新しい現象が見つかり，その数学的証明を行う研究を始めており，当初より進んでいると判断できる．テーマ3については，FitzHugh-Nagumo型方程式の進行波解の構成に着手した段階であり，概ね予定通りと言える．
テーマ２では，結合系の特殊解の安定性について数値計算を行う．不安定固有関数を数値計算で求めることで，解の形状とパラメータの関係を調べる．また，端点付き曲線運動方程式の解析をもとに，領域の形状と自由境界の運動の関係を調べる．さらに，１次元ダイナミクスの詳細を調べている．これを用いることで，wave trainと呼ばれる周期進行波解を調べていく．これは，スパイラル解を構成する際に役立つと考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
テーマ1については，研究分担者と共にパターンダイナミクスの情報について研究を進める．まず，これまでの研究で分かったことを整理する．特異極限問題は，不適切な問題となっていた．それを適切な問題として扱う解空間の特徴付けを行う．つぎに，これまで得られたパターン解をつなぐ全域解の構成やダイナミクスを決定する手法の開発を行う．
テーマ2については，パターンダイナミクスの機能応用について検討を進める．特に，障害物によるスパイラル波の自発的生成の研究を進め，より複雑な障害物へと発展させる．また，異方性のある曲率流問題における研究を多次元の問題に発展させる．
テーマ3については，界面方程式と場の方程式の結合系の解を近似解として用いることで，FitzHugh-Nagumo方程式や細胞運動に現れる反応拡散系などの非線形放物型偏微分方程式系の進行波解を構成を行う．
最終年度にあたるため，これまで得られた情報を総合的に捉え直して，研究を進めていく．
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| Causes of Carryover |
雇用していたポスト・ドクターが，大学への就職が決まりポスト・ドクターをやめたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2017年度に３ヶ月間，別のポストドクターを雇用する予定である．
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