2016 Fiscal Year Annual Research Report
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26310211
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 眞 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70231602)
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| Project Period (FY) |
2014-07-18 – 2019-03-31
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| Keywords | 超一様性 / 疑似乱数 / 準モンテカルロ法 / WAFOM |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題のテーマは、超一様点集合を諸科学で実用できるかたちで普及させることである。Sobol点集合やNiederreiter-Xing点集合をlinear scrambleすることで、t値は小さいままWAFOM値を小さくすることで、よりよい超一様点集合を設計する。本年度は、多次元正規分布の度数分布の数値計算、およびGenzテスト関数において収束の速い超一様点集合の設計を行った。特に、WAFOMという指標にパラメータを導入し、従来4次元程度でしか優位性が確認されなかったところを16次元程度でも有意に積分誤差を小さくする点集合の探索に成功した。次元に応じてパラメータを適切に選定する方法を開発した。また、低WAFOM点集合の探索を行うため、従来のrandom linear scramblingに加えて、山登り法を用いることにより、より高性能な点集合を探索することに成功した。また、パラメータ付きWAFOM値が、ある指数関数のQMC誤差と定数倍を除いて一致することを示すことで、WAFOM値の意味をより明確にした。
一方、多次元正規分布の数値計算においては、我々が実験していたGaussian Reduction of Varianceよりも、Z.Botevにより導入されたtiltingをもちいたアルゴリズムの方が速度の点からも誤差の点からも優れていることがわかったため、Botevのアルゴリズムに対して超一様点集合を用いて計算を行う方法を導入した。
一般の被積分関数においては、高階導関数のノルムが大きくなりにくい指数関数や三角関数において、低WAFOM点集合は従来の点集合よりも誤差収束が速かった。が、微分不可能な連続関数などにおいてはその有意な差は見られず、WAFOM値の有効性とその適用限界に関する知見が深まった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
WAFOM値にパラメータを導入することで、10変数程度までの被積分関数に対し、従来より収束性の速い準モンテカルロ積分が可能であることを実験的に示した。また、パラメータ設定の指針が得られ、4変数から10変数までの十分なめらかな被積分関数に対して準モンテカルロ積分用の点集合が得られ、一般公開に向けて準備中となっている。多次元正規分布に関しては、我々が提唱していた変数変換よりも優れた変数変換がBotevにより発表されたため、Botevの変換を用いて準モンテカルロ法を行うよう方針を変更した。
ある指数関数の準モンテカルロ積分誤差が、本質的にパラメータ付きWAFOMと同値であることを示すことができた。これにより、この指数関数の積分誤差を小さくするためにはWAFOM値を小さくする必要性があることが従い、点集合の性能指標としてのWAFOM値の意義がよりはっきりした。このように、超一様点集合の応用に向けて、理論面および実装面での進展があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
準モンテカルロ積分用点集合をインターネット経由で配布するページを作る。モンテカルロ積分の工学的応用例に対し、本研究により得られた点集合を適用しその有効性を調べる。マルコフ過程モンテカルロに利用できる点列の設計の指針を与える。
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| Causes of Carryover |
超一様点集合の生成アルゴリズムの実装が遅れたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
超一様点集合の生成アルゴリズム開発実装に関わる計算機関連購入費、ならびに研究打ち合わせ旅費、発表のための旅費
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