2017 Fiscal Year Annual Research Report
Application of uniformity and hyper uniformity in sciences
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26310211
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 眞 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70231602)
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| Project Period (FY) |
2014-07-18 – 2019-03-31
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| Keywords | 超一様性 / 準モンテカルロ法 / WAFOM / 一様性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モンテカルロ積分とは、s次元超立方体上で定義された非積分関数fの積分値を近似する方法である。超立方体上にN個の一様ランダムなサンプル点を発生し、それらの点でのfの値の平均値を持ってfの積分値を近似するのがモンテカルロ法である。これに対し、超立方体におけるサンプル点を巧みに配置することで、数値積分誤差をより小さくする手法が準モンテカルロ法である。そのような点集合を超一様点集合と呼ぶ。なかでも、2元体の線形代数を用いて生成された点集合をデジタルネットと呼ぶ。デジタルネットにも各種あり、t-valueを小さくするSobol点集合、また近年提案されたより高次の収束を狙いとするInterlaced Sobol点集合などがある。本研究においては、t-valueとはタイプの異なるパラメータ付きWAFOMを指標として、準モンテカルロ法にとって良いデジタルネットを、山登り法を用いて探索した。得られた点集合の性能を既存の点集合と数値実験を行って比較した。被積分関数が三角関数や指数関数、正規分布密度関数のような滑らかなもので、かつ変数の係数が大きくないときは、低WAFOM点集合は他の点集合よりもよい近似を与えた。特に、空間の次元が4以下のときには、サンプル点の個数Ｎに対してN^{-2}程度のオーダーで誤差が収束することが実験的に確認された。一方、微分不可能な関数や関数の高階導関数のノルムが大きい場合には、低WAFOM点集合は有効に働かないことも実験的に確認された。関連する研究として、指数関数の準モンテカルロ積分誤差とWAFOM値が近い（比が次元にのみ依存し、あまり大きくならない）ことも示した。これは、指数関数を含む関数クラスに対して準モンテカルロ誤差を小さくするためには、使用する点集合のWAFOM値を小さくしなくてはならないことを意味しており、WAFOM値の重要性を裏付けている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
低WAFOM点集合を用いて、既存の点集合よりも誤差の小さい数値積分が得られる条件について進展があった。すなわち、被積分関数の高階導関数のノルムが小さいことが必要であることがわかった。また、このような場合に、既存の点集合に比べて優位に誤差を小さくすることもわかった。逆に、提案する方法が有効ではない状況についても明らかになりつつある。関数が微分不可能であったり、高階導関数のノルムが大きい場合である。
一方、点集合を探索する際に、一つの次元にのみ変更を加えて山登り法を繰り返し行うことで、探索時間を短くする方法が得られた。探索した準モンテカルロ法用点集合は、一般に利用可能なようにホームページにおいて公開している。
我々の研究により得られた点集合は、最近提案された高次収束点集合（higher order convergent digital net)よりも小さな誤差を達成している。特に、サンプル点の個数が少なく、かつ関数が滑らかな時にその傾向は強い。被積分関数の計算に非常に時間がかかるような応用例においてはサンプル点を多くはとれないことがあるので、本研究で得られた点集合はそのような場合にも有効であると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
より広範囲の関数や、あたらしく提唱された点集合との比較を行うことで、低WAFOM点集合の有効性とその限界を明らかにするとともに、一般への普及を模索したい。一方で、不思議な現象が観察されている：多次元正規分布に関するとある関数においては、WAFOMと積分誤差の間に負の相関が観測された。すなわち、WAFOM値を小さくした方が積分誤差が大きくなる傾向がある。被積分関数のどのような性質がこのような現象を引き起こすのか解明したい。
また、現在では点集合としてデジタルネットと呼ばれる有限体の線形代数を用いて作られたものを研究対象としているが、格子点から得られる点集合も高次収束を示すことが知られている。このような点集合と、我々が提案しているような点集合には、どちらにどのようなメリットがあるのか調べたい。少なくとも点生成のしやすさではデジタルネットが有利であるが、誤差収束の速さについては（関数によっては）格子点の方が良い結果が得られる可能性があり、これらを比較することは意義深いと考えられる。
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| Causes of Carryover |
本年度までに得られた結果をまとめるのに時間がかかり、本年度中に国際会議にて発表する予定であったが間に合わず、次年度における国際会議において発表するために翌年度分旅費が必要となった。また、本年度予定していた研究員が雇用できず、次年度から雇用することとなったため翌年度分人件費・謝金が必要となった。
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