2014 Fiscal Year Research-status Report
グラフ構造を高度に利用した高性能グラフアルゴリズム設計
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26330017
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| Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
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Principal Investigator |
宮野 英次 九州工業大学, 大学院情報工学研究院, 教授 (10284548)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | グラフ最適化問題 / グラフ構造 / 多項式時間アルゴリズム / 計算困難性 / 近似アルゴリズム / 近似困難性 / シュタイナー木埋込問題 / 次数制約部分グラフ探索問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，NP困難問題と呼ばれる多項式時間では最適な解を求めるためのアルゴリズムを設計することは出来ないであろうと予想されているグラフ最適化問題を対象として，以下の手法により高性能アルゴリズム設計法を構築することである．(I) グラフが持つ特徴や構造をパラメータで表現することにより部分集合の包含関係による階層を考える．パラメータの値により多項式時間で最適解を求めることができるグラフ部分集合とNP困難となるグラフ部分集合を分類する．(II) NP困難となるグラフ部分集合に対しては，最適解に対する近似精度を理論的に保証できるアルゴリズムを開発する．グラフ構造パラメータの値とその近似精度により，グラフ部分集合の分類を行う．今年度の主な研究成果は以下である．
１．無向グラフとその中のいくつかの特別なターミナル頂点が与えられたとき，すべてのターミナル頂点を繋ぐような木グラフをシュタイナー木と呼び，お互いに頂点を共有しないシュタイナー木をできるだけ多く探索することを目的としたシュタイナー木埋込問題について検討を行った．ターミナル頂点数が5個以下の場合については2-近似アルゴリズムが設計できることを示した．また，ターミナル頂点数をTとした場合のceiling(T/2)-近似アルゴリズムを設計した．研究成果については，国内学会，国内シンポジウム，国際会議において公表を行った．
２．与えられたグラフの中から指定した次数の頂点からなる最大部分グラフを探索する次数制約部分グラフ探索問題のアルゴリズム設計について検討を行った．特に，誘導サイクルの長さと計算容易性・困難性および近似容易性・困難性の関係，木幅と計算容易性・困難性および近似容易性・困難性の関係について明らかにした．研究成果については，国外論文誌，国内学会，国内シンポジウムにおいて公表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の実施計画は以下であった．(1) 参考研究や類似研究の結果の調査，グラフ構造を表現するパラメータの調査，アルゴリズム設計法と近似精度証明の数学的手法の調査，現実世界に表れる離散最適化問題の抽出を行う．(2) (1)で得られた離散最適化問題をグラフ最適化問題として定式化する．(3) パラメータ値に従って，部分集合の包含関係による階層を定義し，多項式時間計算可能なグラフ部分集合とNP困難なグラフ部分集合の分類を行う．(4) NP困難なグラフ部分集合に対する近似アルゴリズム設計と近似可能性の限界証明を行う．本年度の目標は，既にグラフ最適化問題として定式化ができている問題を中心に，従来研究の結果の調査，アルゴリズム設計の検討を行うこと，また，国内研究会や学会総合大会などで随時公表を行うことで，他研究機関の研究者からのフィードバックを得ながら手法の再検討や計画の修正を行っていくことであった．
本年度は，シュタイナー木埋込問題，次数制約部分グラフ探索問題の他にも，直径を制約とした問題，次数を制約としたグラフ有向化問題，メッシュグラフ上での追跡問題，頂点削除による区間グラフ化問題などに関する調査を行うことができた．シュタイナー木埋込問題については，ターミナル頂点数をパラメータとして考えた場合，2までは多項式時間アルゴリズムが設計可能，5までは2近似アルゴリズムが設計可能，一般にはT/2近似アルゴリズムが設計可能であることを示すことができた．次数制約部分グラフ探索問題についても，誘導部分サイクルのサイズをパラメータとして計算時間との関係を示すことができており，当初の計画はおおむね順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで順調に進んできており，これまでと同様の手法と手順で研究目標の達成を目指す．多項式時間で計算可能なグラフ部分集合とNP困難なグラフ部分集合の分類は，徐々に正確さを高めていくしかないと思われる．また，近似精度によるグラフ集合の分類についても近似アルゴリズムの改良と近似限界の証明方法の改良を繰り返しながら進めていくことになる．今後も，米国における国際会議STOC，FOCS，SODA，欧州における国際会議ICALPやESA，アジア地域における国際会議ISAAC等を中心に結果と手法の調査を行う．また，arXive.org プレプリントサーバー，CiteSeerデータベース，DBLPデータベースScienceDirect が提供するオンライン電子ジャーナルを利用する．
次数を制約としたグラフ最適化問題については，弦グラフを包含する弱弦グラフ（誘導サイクルの最大サイズが4，かつ，補グラフの誘導サイクルの最大サイズが4）に対しても多項式時間アルゴリズムが設計できるか，それともNP困難となるのかを調べる．二部グラフが入力の場合には，NP困難となることが分かっているが，誘導サイクルの最大サイズを6とした二部グラフに対しては多項式時間アルゴリズムを設計できるのか，それとも困難なままであるのかについて完全な証明を与える．
2年目も情報処理学会アルゴリズム研究会，電子情報通信学会コンピュテーション研究会，LAシンポジウムなどの国内各種研究会に参加することにより，本研究課題の目標を達成するための有益な情報を得る予定である．集合制限の意味での限界と近似可能性の意味での計算限界の結果に関して，できるだけ早い時期に得るように研究を進め，国際会議での発表を実現する．また，研究成果をまとめた論文は，計算機科学に関する国際ジャーナル誌へ投稿し，広く研究者の目にとまるように計画している．
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| Causes of Carryover |
平成26年度使用予定額の23万円程度を次年度に繰り越すことになった．当初は，文献調査に使用するためや，学会総合大会や国内研究会での研究成果の公表のためにノートPCを2台購入することを計画していたが，平成26年度は1台のみを購入して，他については既存のものを利用したためである．理由は，平成26年度末に国際会議に参加するために使用を控えていたが，会議に参加できなくなったため，平成26年度中に購入ができなくなったからである．以上の理由から，平成27年度に繰り越して，ノートPCを購入することにした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成27年度は，繰り越し分と含めて143万円程度の研究費の費用を予定している．その内訳は，設備備品費として38万円，消耗品費として5万円，国内旅費として28万円，外国旅費として60万円，人件費・謝金として8万円，その他として4万円である．設備備品費により平成26年度に購入を予定していたノートPCを購入予定であり，それに加えてPCサーバー，アルゴリズム論や計算量理論に関する図書を購入する．PC用の消耗品の購入も計画している．国内旅費により東北，関西，宮崎で開催される計算に関する研究会，学会への参加を予定している．国際会議での研究成果の公表を計画しているため外国旅費が必要となる．大学院生による研究補助，専門知識の提供のために80時間分の謝金，研究成果を国際論文誌に投稿するための論文投稿費用も必要となる．
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