2016 Fiscal Year Annual Research Report

Research on triply even codes and their related mathematical structures

Research Project

Project/Area Number	26400002
Research Institution	Hirosaki University
Principal Investigator	別宮耕一弘前大学, 理工学研究科, 准教授 (60364684)
Project Period (FY)	2014-04-01 – 2017-03-31
Keywords	群論 / 代数的符号理論
Outline of Annual Research Achievements	研究課題の主題である立方重偶符号とは二元体上の数ベクトル空間の部分空間で各元のハミング重みが８の倍数となるものである。本研究の目的は、これまで得られた立方重偶符号に関する計算機による数値実験の結果、及び、分類結果から得られた知見を基に立方重偶符号についての一般論を確立することである。立方重偶符号の解明には極大なものの分類や特徴付けが本質的である。本研究代表者及び研究協力者の先行研究において、長さ４８までの分類が得られている。そこから、これまでの規則性に反する極大立方重偶符号の存在が確認されている。その極大立方重偶符号は、三角グラフと呼ばれる古典的なグラフの隣接行列を生成行列とする符号を拡張したものであり、その次元は他の極大立方重偶符号がもつ規則性から外れた性質を有している。昨年度までの成果として、ある種の有限幾何から立方重偶符号の無限系列を構成する方法を見出し、それらが計算機で確認できる範囲において極大であることを確認することができた。そのほか計算機による数値実験において、極大立方重偶符号を構成することに成功し、それらのいくつかは無限系列となる可能性があることを確認することができた。本研究課題の最終年度に当たる本年度の成果として、昨年度、無限系列となることが示された立方重偶符号の系列について研究を進めた結果、系列に属する各符号の次元に関する関係式を示すことに成功した。この関係式は符号の極大性の証明につながる大きな進展であるととらえている。