2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400006
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
松本 久義 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50272597)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 一般化バルマ加群 / 半単純リー代数 / ユニタリ表現 / リー群 / 微分不変量 / 退化系列表現 / 放物幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究の中心的な課題は引き続きスカラー型一般化バルマ加群（放物型部分代数の１次元表現からの誘導表現）の間の準同型の分類である。この問題は一般化旗多様体の直線束の間の同変微分作用素を分類すことと同値であり、表現論や放物幾何の観点から重要な問題である。旗多様体に対応するバルマ加群の間の準同型はBernstein-Gelfand-Gelfandによって割りとすぐに分類が完成したが、問題を一般化旗多様体に置き換えるとLepowskyが1970年だいにこの研究を初めて難しい問題であることを認識して以来、いまだ未解決となっている。
私はelementary homomorphismという準同型のクラスを見出し、任意の0でない準同型はいくつかのelementary homomorphismの合成で書けるという予想を提出し本研究計画の最終目標とした。前年度までの研究でA型古典リー代数（つまり一般線型群のリー代数）の場合は決着がついたので論文にまとめていたが結局IMRNに掲載されることになった.(doi:10.1093/imrn/rnv238)
本年度はこの問題についていくつかの方向性でアプローチした。まずA型の場合の手法を他の古典型（特にB型、C型の場合）に適用することを試みた。 ただA型でないとワイル群の位数２の元がDuflo involutionになるとは限らないということよりこの手法では準同型の存在のための必要しか期待できない。また考えている放物型部分代数にかなり強い仮定を置かないと難しいようである。この研究は現在も継続中である。 次にランク２の放物型部分代数の場合に具体的に問題を調べるということがある。 これまでに例外型で正規な放物型部分代数の場合に無限小指標が正則かつ整という条件も素で予想を確認したが、いくつかの別の場合も調べた。現時点では予想の反例は見つかっていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度において当面の課題としていたA型の場合が解決したので、それは非常に良かったと思う。
ただ一般の場合にはかなり困難な問題がいくつかあり（特にA型でないとワイル群の位数２の元がDuflo involutionになるとは限らないというのが問題）全面的な解決のためにはブレークスルーとなるようなアイデアがな必要であると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
スカラー型一般化バルマ加群の準同型の存在問題についてはとりあえず今までのアイデアで行けるところまでやった後は、やはりアイデアが他にでない限りは、研究の方向性を考える必要があると感じている。具体的には準同型の応用である次のようなものである。スカラー型一般化バルマ加群の間の準同型は退化系列表現（一般化旗多様体の上の同変直線束の切断の空間に実現される対応する群の表現）の間の微分作用素で表される準同型を引き起こす。いくつかの系列の古典群についてはこの微分作用素のカーネルは退化したパラメーターに対して（ゼロ表現でないなら）弱冪単ユニタリ表現になるになることが知られている（[1]). こういった問題は放物型部分代数の冪ゼロ根基が可換な場合は多くの研究があるが、より複雑な場合はほとんど何も知られていない。
この場合ゼロになるかどうかが大問題であり、存在が言えるだけの具体的に書けない微分方程式の大域解の存在という普通は手が出ないものではある。ただやはり[1]において準同型の像は調べられておりそれが全体に一致しなければカーネルはゼロでない。というわけでこの問題には表現論的なアプローチが考えられる。一番簡単で非自明な場合は実はゼロになってしまうことがわかった。ただより複雑な準同型の像が完全可約な場合はカーネルがゼロだと退化系列表現が非ユニタリパラメータで完全可約になることに違和感がかなりある。このことについてちゃんと調べてみたい。
[1] H.Matumoto and P.E. Trapa, Derived functor modules arising as large irreducible constituents of degenerate principal series,Compos. Math. 143 (2007), no. 1, 222-256.
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