2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400007
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| Research Institution | Joetsu University of Education |
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Principal Investigator |
林田 秀一 上越教育大学, 学校教育研究科(研究院), 准教授 (80597766)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 保型形式 / エル関数 / ジーゲル保型形式 / ヤコビ形式 / マース空間 / プラス空間 / マース関係式 / ディリクレ級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
【本研究について】多変数保型形式、あるいは簡約群上の保型形式の一種であるジーゲル保型形式に関して、ジーゲル保型形式からフーリエ・ヤコビ展開を経由してヤコビ形式が得られる。これらのヤコビ形式達はそのジーゲル保型形式のフーリエ・ヤコビ係数と呼ばれるが、これらフーリエ・ヤコビ係数の間の関係式が一般化マース関係式である。マース関係式とは次数２のジーゲル保型形式のフーリエ係数の間の関係式であったが、一般化マース関係式とは、フーリエ係数ではなく、ヤコビ形式という関数を扱う関係式である。本研究においては、一般化マース関係式の精密化とそのジーゲル保型形式への応用、特にジーゲル保型形式のL関数(スピノル型、スタンダード型及び Kohnen-Skoruppa-Yamazaki型)への応用を目指している。
【得られた結果について】一般化マース関係式は、重さが整数及び半整数のジーゲル保型形式の場合に、整数指数のフーリエ・ヤコビ係数間の関係式、つまり出てくるヤコビ形式が整数指数のもの、についてこれまでの研究で関係式が得られていた。本年度は、この重さが半整数の場合を論文としてまとめ投稿し、雑誌に掲載された。また、共同研究(Bernhard Heim氏(GUtech 大))の中で、一般化マース関係式の別表示が得られ、それにより、行列指数のフーリエ・ヤコビ係数間の関係式、ただし、指数に現れる行列のサイズが次数マイナス１になるものについて、一般化マース関係式が得られた。目指している一般化マース関係式の精密化とは、任意のサイズの行列の指数でのフーリエ・ヤコビ係数の関係式である。尚、重さが整数で行列のサイズが２のある特別な場合に関しては、重さ半整数の整数指数の一般化マース関係式と同じであるので、それについてはすでに結果が得られている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般化マース関係式の精密化はまだ得られていないものの、フーリエ・ヤコビ係数の指数の行列のサイズがジーゲル保型形式の次数マイナス１となるものについては一般化マース関係式が得られた。またそれ以外のサイズの行列の指数の一般化マース関係式についても証明のアイデアがあり、当初の予定とは違う方向に進んでいるが、最終的に一般化マース関係式の精密化が得られると考えている。また、重さ半整数のヤコビ形式の空間と重さ整数のヤコビ形式の空間との同型対応を、ヘッケ作用素との可換性も込め証明した。ここで、重さ半整数のヤコビ形式の空間は、ジーゲル保型形式のプラス空間をヤコビ形式のプラス空間として拡張したものであり、この同型対応で対応する空間のヤコビ形式のそれぞれの指数は行列のサイズが１違うものとなっている。この結果は論文としてまとめ投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般化マース関係式の精密化を引き続き行う。また、同時に、一般化マース関係式のエル関数への応用を調べる。さらには、一般指数のヤコビ形式で志村対応があるのかどうか調べたい。一般化マース関係式の精密化に関しては、行列指数のヤコビ形式を扱っているため、これまでとは違う方法での証明を考察しているが、ヤコビ形式に関しては、ジーゲル作用素とヘッケ作用素の可換性が一般には成立しないことがフーリエ係数の計算で分かり、このことが証明の一つのネックとなっている。しかし、ジーゲル作用素とヘッケ作用素の可換性が成り立つことは必要条件ではないため、証明方針の修正は可能であると思われる。一般化マース関係式のエル関数への応用の方は、重さが半整数で、フーリエ・ヤコビ係数が整数指数である場合は Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数を途中まで計算した結果が得られている。行列指数の場合においても部分的に一般化マース関係式が得られているので、これに付随する Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数を計算し、それらと他のエル関数との関連を調べる。
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| Causes of Carryover |
前年度の未使用額が残っており、また関連書籍にかける物品費の支出が当初の予定よりも少なく済んだため、次年度使用額が生じている。旅費の使用に関しては、研究者の招聘及び自身の国内外への旅費として概ね予定通りであった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
関連書籍の追加購入、研究打ち合わせ、学会および研究集会参加への旅費として使用する。
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