2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400007
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| Research Institution | Joetsu University of Education |
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Principal Investigator |
林田 秀一 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 准教授 (80597766)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | コーネン・スコルッパ・山崎型ディリクレ級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高次元マース関係式を応用したエル関数の研究を行っている。当該年度において、高次元マース関係式の精密化はまだ課題として残っているが、ランキン・セルバーグ型ディリクレ級数に関連して主に以下の２点について成果が得られた。
(1) ヤコビ形式に付随する Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数について、その解析接続と関数等式を証明した。ここで Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数とは、ジーゲル保型形式のフーリエ・ヤコビ係数の内積で構成されるランキン・セルバーグ型のディリクレ級数である。このディリクレ級数は次数２のジーゲル保型形式の場合に W.Kohnen と N.-P.Skoruppa により導入され、山崎正により一般次元に拡張されている。本研究においては、まずヤコビ形式をフーリエ・ヤコビ展開し、そのフーリエ・ヤコビ係数を用い Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数を導入し、その解析的性質を示した。また、この結果は O.Imamoglu と Y.Martin がヤコビ形式に対して行ったディリクレ級数の研究の一部の高次元化とみなすこともできる。Imamoglu-Martin では２変数のディリクレ級数を扱っている。本研究では、Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数を積分表示することが証明の一つの鍵である。
(2) 指数が1の高次元ヤコビ形式はプラス空間と呼ばれる重さ半整数のジーゲル保型形式の部分空間と同型であることが知られている。上記の結果により、プラス空間に属する重さ半整数ジーゲル保型形式についても、その Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級の解析接続と関数等式が得られる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
重さ半整数のジーゲル保型形式に付随する Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型ディリクレ級数の解析接続ならびに関数等式を、次数１の場合の Kohnen-Zagier の方法で証明しようとしてもうまくいかないが、重さ半整数のジーゲル保型形式を指数１のヤコビ形式に対応させ、高次元ヤコビ形式のテータ分解とフーリエ・ヤコビ展開をうまく組み合わせることでディリクレ級数の積分表示および解析性と関数等式を証明することができた。Kohnen-Zagier 公式のある一般化が今後の課題として残っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
池田リフトで得られる重さ半整数ジーゲル保型形式のフーリエ・ヤコビ係数の周期をエル関数の特殊値で表すことが残っている課題である。これは Kohnen-Zagier 公式のある一般化を与える。桂田英典と河村尚明により、池田リフトの指数１のフーリエ・ヤコビ係数の周期の明示式が得られている。扱う群がジーゲル・モジュラー群ではなくヤコビ群となり困難な部分もあるが、桂田・河村の行った方法を元に指数が行列の場合の証明を考えていきたい。また、高次元マース関係式の精密化の方は従来とは別のアイデアがあり、その方向で進めていきたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
中国やドイツ等へ海外出張し、研究集会への参加及び研究発表、研究討論や打ち合わせを予定していたが、中国の方の研究集会が主催者の都合で延期となっており、次年度以降へ研究費を持ち越すため、当該年度に計上した出張費は減額となっている。また当該年度の12月に中国での別の研究集会に参加するため渡航したが、それ以外の海外での研究集会は参加せず、計上した出張費が予定よりも少なくなっている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当該年度に計上しなかった分の経費は、本や雑誌の購入に使用する。またソフトウェアの購入や、更に国内外の研究集会や研究打ち合わせの為の出張費として使用する。
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