2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400009
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
野村 明人 金沢大学, 機械工学系, 教授 (00313700)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤井 俊 金沢工業大学, 基礎教育部, 講師 (20386618)
脇 克志 山形大学, 理学部, 教授 (30250591)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ガロアの逆問題 / 不分岐拡大 / イデアル類群 / 類数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，分岐を制限したガロアの逆問題「代数体 k と有限 p 群 G が与えられたとき，不分岐ガロア拡大 L/k でそのガロア群が G と同型なものが存在するか？」という問題を考察し，その応用として「代数体 k の最大不分岐 p 拡大のガロア群G_k(p)の構造解析」を行うことである．
pを奇素数とする．E を位数がpの3乗の非アーベル群で群指数がpのもの E'を位数がpの3乗の非アーベル群で群指数がpの2乗のものとする．k が2次体でそのイデアル類群のp-ランクが2以上ならば，kのヒルベルトp類体の類数はpで割り切れ，さらに不分岐ガロア拡大 L/k でそのガロア群がEと同型なものが存在することが，研究代表者（野村）などにより証明されている．
今年度は，k が(2,2)拡大の場合に，不分岐ガロア拡大 L/k でそのガロア群が E や E' と同型なものが存在するかどうか考察し多くの実例計算を行った．また，位数がpの3乗より大きい群の場合についても例を計算することができた．代表的な例を以下に挙げる．
１．k=Q(\sqrt{-23},\sqrt{-26})，p=3 とする．このとき，不分岐ガロア拡大でガロア群が E と同型なものは存在し，ガロア群が E' と同型なものは存在しない．
２．k=Q(\sqrt{-23},\sqrt{-199})，p=3 とする．このとき，不分岐ガロア拡大でガロア群が [243,13] と同型なものが存在する．ここで，[243,13] はGAPのライブラリナンバーであり，位数243の非アーベル群である．
３．k=Q(\sqrt{-79},\sqrt{-166})，p=5 とする．このとき，不分岐ガロア拡大でガロア群が E' と同型なものは存在し，ガロア群が E と同型なものは存在しない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２７年度は，(2,2)拡大体上のガロアの逆問題の不分岐解の存在について考察し，p=3,5の場合に計算代数ソフトPari-gpとGAPを用いて重要な例を計算することが出来た．今回は，ある種の群に対する不分岐解の非存在に関する例も含まれており，今後の理論展開において重要な役割を果たすと考えている．また，位数がpの3乗より大きな群に対する例を計算できた意義も大きい．
計画通りに進んでいない部分もあるが，総合的に判断すると概ね順調と言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の方策は，より一般の体上でp群に対するガロアの逆問題の不分岐解の存在について考察し，代数体の最大不分岐p拡大のガロア群の構造を調べることである．具体的には，以下の問題に取り組む．
１．E を非アーベルp群とする．平成２７年度の実例計算を基に，(2,2)拡大体 k に対して，不分岐ガロ拡大 L/k でそのガロア群が E と同型なものが存在するための必要十分条件を求める．実例計算を踏まえて一般論を構築するために，分担者の脇氏と綿密な研究打ち合わせを行う．また，さらなる実例計算のために，Pariの第一人者である連携研究者の木村氏の助言を仰ぐ．
２．１の考察を足掛かりとし，kが有理数体上のガロア拡大で拡大次数が p と素な場合にガロアの逆問題の不分岐解について考察する．この項目に関しては，分担者の藤井氏及び連携研究者の平林氏の助言を仰ぐ．
３．上記の問題２．にアプローチするための重要な道具となる中心拡大でない場合の埋め込み問題の分岐理論を確立する．
４．研究の総括を行い，次のステージに上がるための戦略を検討する．
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| Causes of Carryover |
今年度は，金沢で予定していた研究打ち合わせを京都大学数理解析研究所で開催された研究集会の際に行えたことにより研究費が効率的に使用でき，その結果として，少し余りました．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２７年度の残額は次年度配当額と合わせて有効活用し，以下のように使用したいと考えています．
研究打ち合わせと研究発表で使用する携帯型ノートパソコンや図書のための物品費として約30万円，研究打ち合わせと研究発表及び総括のための旅費として約60万円，研究補助等の謝金として約10万円，研究課題に関する小研究集会の会場費用や印刷費用のために約20万円の使用を予定しています．
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