p進体および有限体上の等質空間の表現論

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26400011
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 加藤 信一 京都大学, 国際高等教育院, 教授 (90114438)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 簡約群 / 対称空間 / 表現論 / 局所体 / 有限体 / 球等質空間

Outline of Annual Research Achievements

連携研究者の高野啓児（明石高専）と共同で，p進体上の等質空間，とりわけ対称空間の表現論，つまりp進簡約群の対称部分群に関するdistinguished表現の研究を行った．
今年度は，まず対称空間上の表現の研究として，連携研究者が得た一般線型群の2次拡大に付随した対称空間の相対尖点表現の構成（極大放物型部分群のLevi部分群のdistinguished 尖点表現からの誘導）を一般化して，同じく一般線型群の2次拡大に付随した対称空間について，より多くの相対尖点表現をdistinguished 尖点表現からの誘導表現として構成する方法を見いだした．この観点を考察することにより，以前より研究していた一般の対称空間の相対尖点表現の構成法について，より精密な予想を確立することが出来た．この予想は一般には未解決だが，対称空間がある種の条件（対称部分群の非等方性）をみたす場合には証明することも出来ている．
一方で球等質空間の相対尖点表現についても考察を進めた．来日したPatrik Delorme教授より，対称部分群と対極的な位置づけの球部分群である極大べき単部分群について，Whittaker模型（これがこの場合考察すべきdistinguished表現）における相対尖点表現と尖点表現の関係の説明を受けることが出来，この部分の理解を深めることが出来た．そしてその関係が，これまで構築してきた相対尖点表現の全体像と合致すること，ならびに対称空間の場合の予想を補強することを確認することが出来た．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

p進対称空間の相対尖点表現の構成に関して，その予想形を確立することが出来たこと，さらには，ある条件の下でこれを証明できたことによる．この予想は相対尖点表現の全体像の理解に資するところ大であると考えている．

Strategy for Future Research Activity

今回得られたp進対称空間の相対尖点表現の構成に関して，具体例を検討して得られた予想と見比べること，ならびに（必要に応じて微調整を行って）一般的な予想を証明することが，今後の推進方策である．

Causes of Carryover

研究推進のために必要な図書を予定よりも多く購入したため，本来予定していたPC購入を（PCのモデルチェンジもあり）延期したため．

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度使用額は，次年度分の直接経費と合わせて，PC購入に充てるものとする．