p進体および有限体上の等質空間の表現論

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26400011
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 加藤 信一 京都大学, 理学研究科, 教授 (90114438)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 簡約群 / 対称空間 / 表現論 / 局所体 / 有限体 / 球等質空間

Outline of Annual Research Achievements

連携研究者の高野啓児（香川大教育学部）と共同で，p進体上の等質空間，とりわけ対称空間の表現論，つまり p進簡約群の対称部分群に関するdistinguished表現の研究を行った．
今年度は，安定放物型部分群のLevi部分群のdistinguished尖点表現からの誘導による相対尖点表現の構成例を一般化して広いクラスの対称空間の既約相対尖点表現の構成法について，とりわけ相対尖点表現とある種のトーラスが関係しているという予想についての研究を続行した．これに対してMurnaghan, Smith は誘導表現を用いる相対尖点表現の構成例を示した．現在彼らの構成例とわれわれの予想との類似点を見いだしこの2つの観点の比較を検討中である．この比較によりわれわれの予想の証明への道が開かれると考えている．
一方，通常の尖点表現については，簡約群には必ず尖点表現が存在することが知られている．これと同様にp進対称空間についても相対尖点表現が必ず存在することが予想される．最近Beuzart-Plessisは，通常の尖点表現について，上記事実をある種のトーラスの存在と結びつける証明を与えた．われわれの予想はこのBeuzart-Plessisの証明法の観点から見て相対尖点表現の存在を示唆していると考えることが出来る．そこでどのように元のBeuzart-Plessisの証明法を応用して相対尖点表現の存在に結びつけることができるか研究中である．これについてもまだ最終形に至っていないが，この形で相対尖点表現の存在が証明できることが期待されている．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

p進対称空間の相対尖点表現の構成に関して，予想形ならびにそのエビデンスは得られているのだが，まだそれを証明するまでには至っていない．また新たに取り組んだ相対尖点表現の存在問題の研究についても現在進行中の状態である．

Strategy for Future Research Activity

今までに得られたp進対称空間の相対尖点表現の構成法，特にその具体例に加えて，Murnaghan, Smithによる新たな構成法の知見を加えて，上記表現の構成を探るのが今後の研究の推進方策である．そしてこれら構成問題とともに，相対尖点表現の存在問題にもトーラスとの関係を探る観点から迫りたい．

Causes of Carryover

今年度も多忙のため，国内出張件数を抑えざるを得なかった．

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度使用額は，次年度分の直接経費と合わせて，国内出張旅費にその多くを充てる予定である．