2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400012
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
渡部 隆夫 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30201198)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 代数群 / 簡約理論 / 基本領域 / 算術的商空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正定値実対称行列のなす対称錐は一般線形群が作用する等質空間であり, 整係数一般線形群が固有不連続に作用する. この離散群の作用に関する基本領域を決定する理論は簡約理論とよばれ, 離散群や２次形式の数論, リーマン対称空間の算術商の研究と深く関係している. 簡約理論には, Minkowskiの簡約理論, Korkin--Zorotarevの簡約理論などいくつかの異なる理論が知られているが, その一つにVoronoi簡約理論がある. Minkowskiの簡約理論は, Humbertにより基礎体が代数体の場合に拡張され, その後Borel--Harish-Chandraによる一般の簡約代数群のSiegel集合の理論へと発展したが, 他方Voronoi簡約理論は, その構成が線形性に強く依拠していることから, Koecherにより自己双対等質錘までは拡張されたが, 一般の簡約代数群では理論が構成されていなかった. 研究代表者は, これまでの研究で, Voronoi簡約理論の類推を考察することにより, 一般の簡約代数群のアデール群上でRyshkov領域を定義し、Ryshkov領域内にアデール群の算術的商空間の基本領域が構成できることを示した。しかし, ここまでの研究では, 基本領域の具体的記述には代数群の類数が1という仮定を必要としたため, 有理数体上の一般線形群に対するKorkin--Zorotarev--Grenierの簡約理論を包含することを示すことはできたが, Humbertの理論に対するカウンターパートは構成できていなかった. 今年度の研究では, Lee Tim Weng君との共同研究により, 任意の代数体上の一般線形群に対し, Korkin--Zorotarev--Grenier簡約理論の一般化を構成することができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は、簡約線形代数群の数論的部分群による算術商に対し、Ryshkov 領域を経由して基本領域を構成するという新しいアプローチにより、基本領域構成の一般論と精確な具体例を与えることであった。今年度の研究では, 任意に与えられた代数体上で定義された一般線形群 GL(n) に対し, 整数環上ランク n を持つ射影加群の固定化群として定まる数論的部分群に関する基本領域の構成を明示的に与えることができた. これは基本領域構成の具体例を与えるという目的に沿った成果である.
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の目的の一つである, Ryshkov領域から構成される基本領域の境界セルの個数の有限性, について考察を進める. これまでも一般的な証明について考察を重ねているが, まだ証明はできてなく, 手がかりも乏しい. そこで, 今回得られた結果: 代数体上の一般線形群に対する基本領域の明示的構成 をもとに, この具体的な場合についてその境界セルの有限性を示すことを考える.
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| Causes of Carryover |
何度後半に外国人研究者の招聘を検討していたが, 先方の都合により取りやめることになった. その旅費として予定していた金額が未使用額として残り, それが次年度使用額として生じた.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額と平成２７年度請求の助成金を合わせて, 専門図書の購入, 国内の研究集会・研究打ち合わせのための旅費に使用する. また平成２８年１月にドイツで開催予定の Oberwolfach Workshop に招待されているため, その渡航費に使用する.
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