2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400012
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
渡部 隆夫 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30201198)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 簡約理論 / 基本領域 / ２次形式 / 対称錘 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正定値実対称行列のなす対称錐は、一般線形群が作用する等質空間と見ることができ、自然に整数係数一般線形群が固有不連続に作用する。この離散群の作用に関する基本領域を決定する理論は簡約理論とよばれ、離散群や２次形式の数論、リーマン対称空間の算術商の研究と密接に関係している。研究代表者は、Voronoi簡約理論の考察をもとに、一般的な簡約代数群に対しそのアデール群上でRyshkov領域を定義し、Ryshkov領域内にアデール群の算術的商空間の基本領域が構成できることを示した。この方法は、標準的な放物的部分群を決めるごとに基本領域の構成を与えるので、簡約代数群の階数が2以上の場合は複数の異なる形態の基本領域が構成できるという特徴をもつ。しかしながら、アデール群の基本領域からそのアルキメデス付値部分として現れる実リー群の算術商に対する基本領域を構成し記述することは、自明として片づく問題ではなく、丁寧な計算が必要である。前年度は Lee Tim Weng君との共同研究として、任意の代数体上の一般線形群GL(n)に対しこの問題を考察し、Humbert形式の空間における基本領域の具体的な記述を与え、それがKorkin--Zorotarev--Grenier簡約理論の一般化となっていることを示した。今年度はこの研究をさらに進めて、その基本領域の記述方法を改良することでより扱いやすくするとともに、二つの放物的部分群が GL(n) の外部自己同型写像によって移りあうときに、対応して構成される二つの基本領域がどのような関係をもつのかを調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は、簡約線形代数群の数論的部分群による算術商に対し、Ryshkov 領域を経由して基本領域を構成するという新しいアプローチにより、基本領域構成の一般論と精確な具体例を与えることであった。今年度の研究では、代数体上で定義された一般線形群 GL(n) に対し、整数環上ランク n を持つ射影加群の固定化群として定まる数論的部分群に関する基本領域の明示的構成を改良し、また異なる形態をもつ基本領域の間の関係性を記述することができた。これは基本領域構成の具体例を与えるという目的に沿った成果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の目的の一つである、Ryshkov領域から構成される基本領域の境界セルの個数の有限性について考察を進める。これまでも一般的な証明について考察を重ねているが、まだ証明はできてなく、手がかりも乏しい。今回得られた結果である、代数体上の一般線形群に対する基本領域の明示的構成をもとに、この具体的な場合についてその境界セルの有限性を示すことを考える.
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| Causes of Carryover |
物品費の中に含めている図書購入費でわずかな残額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度購入予定の図書の経費として使用する．
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