2014 Fiscal Year Research-status Report
関数体におけるGalois表現と保型形式の合同理論
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26400016
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
服部 新 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (10451436)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 保型形式 / eigenvariety / 標準部分群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は関数体上の保型形式の合同関係と，その代数体上の理論との関連の解明である．保型形式の（Hecke固有値の）合同はeigenvarietyと呼ばれるリジッド解析多様体によって統制され，eigenvarietyの諸性質は保型形式の合同が持つ諸性質を反映しているはずだが，eigenvarietyに関しては様々な代数群に対して構成は行われているものの，その性質に関しては（楕円保型形式に対応するColeman-Mazurのeigencurveの場合を除いて）ほとんど研究が進んでいない．
本年度は，関数体への応用を視野に入れて，eigenvarietyの研究を保型形式の族の研究に帰着する手法について研究を行った．リジッド解析的多様体からeigenvarietyへの射に対して保型形式の族が構成できれば，その族に対して標準部分群やHecke作用素の力学系の理論を適用することにより，族の性質や，ひいてはeigenvariety自身の性質を調べることができる．これに関し，本年度の研究で，弱重複度１定理が成立する状況では，この方法で単位円盤上の保型形式の族を構成できることが分かった．例えば代数体上のHilbert保型形式に関してはこれを適用できるが，関数体で（保型形式の重さを固定した場合に）弱重複度１定理が成り立つかどうかは知られておらず，関数体については別の手法を考える必要がある．また，素数pで不分岐かつ剰余次数2以下の総実代数体上のHilbert保型形式に関しては，標準部分群の分析により，過収束固有形式の傾斜が有限かどうかを過収束性で判定できることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本年度は，関数体の保型形式の研究のあるべき道筋を見定めるために，Buzzardのeigenvarietyに関する一般的な研究から着手したが，結局その代数体上への応用の研究に留まり，本来の研究テーマである関数体上の合同理論についてはそれほど進展がなかった．代数体側では意義のある成果を得たものの，同時に弱重複度１定理の重要性という，関数体側での困難に遭遇するに至った．このような状況を鑑みて，計画は遅れていると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
関数体上の保型形式の研究という本来のテーマから派生した代数体上のHilbert保型形式の研究を早めに切り上げ，本来の研究計画の遂行に移る．代数体上の研究によって，関数体の場合に何が必要かがかなり分かってきた．関数体のeigenvarietyの構成自体は，当初の計画に従って問題なく実現できるという感触を得たので，その通りに行う．ただ，そのようにしてできたeigenvarietyを分析するための手法は，（弱重複度１定理が使えないため）当初考えていたものとは異なるものを考えないといけない．Ambrus Pal氏が，関数体上のモジュラー多様体の研究で，代数体上の弱重複度１定理に相当する議論を開発してうまく利用していたので，Pal氏と討論をするなどしてこの新しい手法の利用を検討する．
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| Causes of Carryover |
3年間の研究期間中に，出張時の論文執筆用のノートパソコンを一台購入する計画であるが，1年目は購入しなかったので，2年目以降のために20万円ほどの額を取っておいてある．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
現在使っているノートパソコンの調子が悪くなり次第，2年目または3年目にノートパソコンを購入する．
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