2015 Fiscal Year Research-status Report
関数体におけるGalois表現と保型形式の合同理論
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26400016
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
服部 新 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (10451436)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 固有値多様体 / Drinfeld保型形式 / 標準部分群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に行った，固有値多様体（eigenvariety）の一般論に関する研究をさらに推し進めた．その派生的な成果として，Hilbert固有値多様体の整数重みでの固有性を（総実代数体が素数pで不分岐かつpの上の素点での剰余次数が2以下の場合に）示した．これに関し論文を作成し，公表したうえで，学術誌に投稿した．固有値多様体は保型形式のp巾合同を統制するリジッド解析的多様体であり，その幾何学的性質が保型形式の深いp進的性質を表していると考えられるが，固有値多様体の幾何学的性質は楕円保型形式の場合を除いてあまり分かっていない．この成果は高次元の固有値多様体に対する幾何の解明の端緒としての意義がある．また，その証明で用いられる，固有値多様体への射から保型形式の族への局所的な変換補題は，関数体上の保型形式の研究でも役立つと思われる．
それと並行して，研究計画の本筋である関数体上の保型形式の合同関係についても研究を行った．本年度は主に階数2の場合について研究し，標準部分群の理論が楕円保型形式と同様に展開できることが分かった．標準部分群とはAbel多様体やDrinfeld加群が通常に近いときに存在する特殊な部分群のことであり，その理解は保型形式の合同を統制するために不可欠である．標準部分群の存在が保証されたことにより，p進保型形式の合同の研究において用いられてきた様々な手法をDrinfeld保型形式に移植できる可能性が開けた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前年度の研究から派生したHilbert固有多様体に関する研究成果を論文にまとめるのに時間がかかったため．
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| Strategy for Future Research Activity |
概ね当初の研究計画通りに研究を行う．
これまでの研究により，Drinfeld保型形式の合同理論の構築に当たっては，適切な重み指標のクラスを定義することと，Tate対象の形式的完備化の解析とが解決すべき重要な課題であることが分かってきた．後者からは直ちにDrinfeld保型形式の合同に関するある性質が導かれるため，海外の研究者と討論するなどして早期に解決の糸口を探る．前者はDrinfeld固有値多様体の構成に関連する問題であり，Carlitz指数写像を利用するなどの手法を模索する．
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| Causes of Carryover |
年度末に年度を跨いだ出張を行ったため，その分の出張旅費のおよそ半額が次年度使用額として計算されている．また，次年度に講演のため予定外の出張をすることになり，今年度の研究費を一部次年度に使用することとした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
年度を跨いだ出張の出張旅費が12万円程度，次年度予定外の出張のための旅費が8万程度それぞれ必要で，次年度使用額はこの分の負担に充てる．
次年度の支払い請求分は計画通り，3度ほど海外に出張して情報収集や在外研究者と討論を行うためと，関数体上の保型形式の合同に関連した書籍の購入のために使用する．
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