素数ベキ分体の類数の素因子の分布

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26400020
• Research Institution: Gakushuin University
• Principal Investigator: 中島 匠一 学習院大学, 理学部, 教授 (90172311)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 円分体の類数

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、代数的整数論において重要な役割を果たす円分体の類数を計算し、その性質を調べるとともに、得られた数値の応用を追求することである。円分体の類数はクンマーの研究に起源を持つ「解析的類数公式」によって計算することが出来るが、その計算には多項式の演算を頻繁におこなう必要があることと、得られる数値（類数の因数）が非常に大きな数になること（我々の計算で、10進表示で9億桁の整数が登場している）など、計算実行上の困難が大きく、大規模な計算がおこなわれていなかった（おこなうことが出来なかった）。
我々は、近年の計算機のハードウェアの高速化およびソフトウェアの整備（GMPライブラリー、など）に着目し、円分体の類数の系統的計算を推し進めることにした。特に、最初のターゲットとして、円分体の中でも最も基本的である「素数べき分体」を選び、広い範囲での計算を計画した。
本研究の今年度の成果としては、（1）計算プログラムの整備（2）大規模計算の実行（3）「仮説」の検証、がある。（1）については、我々が以前から作成していた類数計算のプログラムを見直し、アルゴリズムの改良によって、計算を高速化することが出来た。これによって（2）を実現することが出来、かなり大量のデータが得られた。（3）の「仮説」とは、我々が以前から注目している「素数の2乗以上の素数べき分体では、異なる体の（相対）類数は互いに素である」という性質である。我々のデータの中に、この「仮説」の成立しない例が1つだけ見つかったのであるが、ほとんどの場合に「仮説」が成立していることも確認できた。我々の「仮説」の成立範囲の検証が、今後の課題となっている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は研究計画の初年度であり、研究環境の整備が狙いであった。実際に、本年度に類数計算専用の計算機の導入をおこない、計算プログラムの整備に成功し、データの収集をおこなうことが出来た。したがって、現実的に、我々の当初の目的がおおむね達成できたといえる。

Strategy for Future Research Activity

本年度の研究でかなりのデータは獲得できたが、今後もデータの収集はおこなっていく。（新しい計算機の導入やアルゴリズムの改良で、データ数を増やすことが可能と考えている。）また、得られたデータの解析によって発見される類数の性質（特に、我々の「仮説」）について、今後は理論的考察が必要になる。そのために、これからは研究グループ内での協議を活発にするとともに、各種の研究集会への出席などを通じて、多くの整数論研究者との交流を図る計画である。

Causes of Carryover

本研究費によって購入予定だった、データ処理用の計算機を、本務校の予算によって購入することが出来たため。

Expenditure Plan for Carryover Budget

新たな計算機が導入できればデータの範囲を広げることが出来る見通しであるので、次年度に繰り越した予算は、その計算機の導入の費用に充てる計画である。