Distribution of prime factors of the class numbers of prime-power cyclotomic fields

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 26400020
• Research Institution: Gakushuin University
• Principal Investigator: 中島 匠一 学習院大学, 理学部, 教授 (90172311)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 円分体 / 類数

Outline of Annual Research Achievements

一般に、円分体の類数のマイナスパートは、急激に増大することが知られている。我々の研究では、円分体のうち素数ベキ分体に注目して、巨大な整数の計算システムを構築したうえで、解析的類数公式により、素数ベキ分体の類数のマイナスパートの計算を実行した。計算に当たっては、多項式の計算アルゴリズムに2次元 FFT の手法を応用した。また、本研究期間の前半において、素数ベキ分体におけるベキ根のトレースの（特殊な）性質の応用により、計算のためのメモリーの節約と計算スピードの向上を実現することができた。
従来、素数分体の類数のマイナスパートには共通因子があることがわかっている。しかし、素数ベキ分体の場合の相対類数のマイナスパートには共通因子がないのではないか、という、茨城大学理学部の市村文男氏の示唆にもとづいて、我々の求めた巨大な類数の間の最大公約数の計算をおこなった。その結果、我々の計算の範囲で、市村氏の予測はほぼ常に成り立っているのだが、唯1つの「例外」が見つかった。例外がもっと見つかる可能性を考慮して、計算の範囲を可能な限り広げてみたが、新たな「例外」は見つからなかった。類数の値が余りにも巨大になることから、現状では計算範囲の拡大は不可能であり、例外はどの程度存在するか？、という問題には答えを与えられない事態に陥っている。
我々の計算した類数が非常に大きな素因子を持っていることから、その応用として、フェルマー数やメルセンヌ数などの大きな自然数の因数分解を試みている。つまり、それらの数と素数ベキ分体の類数との最大公約数をとることで、それらの数の新しい因数を発見する、ということである。現在もその計算は実行中であるが、残念ながら、まだ新しい因数の発見には至っていない。