2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400027
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
村瀬 篤 京都産業大学, 理学部, 教授 (40157772)
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2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 保型形式 / ヤコビ形式 / 無限積 / Kac-Moodyリー代数 / ベクトル系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２６年度の「完全再生可能関数」の対称性による特徴付けの研究の発展として、平成２７年度には、無限積を持つヤコビ形式が持つ対称性について研究を行い、次の結果を得た。Kac-Moodyリー代数、とりわけアフィンKac-Moodyリー代数は、数学のみならず、超弦理論等の物理学にも広範な応用を持つ数学的対象である。Kac-Moodyリー代数においては、分母公式とよばれる「無限和＝無限積」を著す式が重要な役割を果たす。アフィンKac-Moodyリー代数の場合は、分母公式は無限積を持つヤコビ形式（上半平面と有限次元複素ベクトル空間の直積上の保型形式）となる。untwistedとよばれるアフィンKac-Moodyリー代数の分母公式は、Borcherdsが導入した「ベクトル系」に付随する無限積によって表される。また、それはレベル１のヤコビ群に関するヤコビ形式となっている。一方、twistedアフィンKac-Moodyリー代数(untwistedなアフィンKac-Moodyリー代数を自己同型で割ったもの）の場合は、「ベクトル系」に付随する無限積によっては表されない。本研究では、「ベクトル系」に付随する無限積の概念を一般化した、「ベクトル系の系列」に付随する無限積の系列を導入し、それが「一般化された積対称性」を持つことを示した。前述のtwistedアフィンKac-Moodyリー代数の分母公式は、本研究が導入した無限積の系列の例としてとらえることができる。また、これによって、レベルが１より大きい場合の無限積を持つヤコビ形式を把握することが可能となった。
twistedアフィンKac-Moodyリー代数の分母公式を一部として含むヤコビ形式の系列の各々の意味づけは、今のところ謎であり、今後の課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２７年度に計画した内容を、ほぼ達成できたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、「一般化された積対称性」を持つヤコビ形式の系列が、「ベクトル系の系列」に付随する無限積の系列として表されるかという、平成２７年度に得られた結果の逆問題を研究する計画である。また、twistedアフィンKac-Moodyリー代数の分母公式を一部として含むヤコビ形式の系列の各々の意味づけも、考察を続ける。
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