2017 Fiscal Year Annual Research Report

A Study of arithmetic functions and zeta functions related to the cryptography and coding theory

Research Project

Project/Area Number	26400028
Research Institution	Kindai University
Principal Investigator	知念宏司近畿大学, 理工学部, 准教授 (30419486)
Project Period (FY)	2014-04-01 – 2018-03-31
Keywords	線型符号 / ゼータ関数 / リーマン予想
Outline of Annual Research Achievements	本研究期間においては、誤り訂正符号に関連するテーマである「線型符号のゼータ関数」とその周辺について研究を行なった。具体的問題は formal weight enumerator のゼータ関数とそのリーマン予想である。Formal weight enumerator は、小関道夫氏によって符号および数論の世界に導入された。それは符号理論において重要な Type II code の重み多項式ときわめてよく似た性質をもつものである。筆者はかつて、小関氏の formal weight enumerator の系列（Type II formal weight enumerator と呼ぶことにする）に対してもゼータ関数が定義でき、そのリーマン予想に関して、Type II code と同様の現象が観察されることを報告した。すなわち、Type II code の場合に類似の関数等式が成立してリーマン予想を考察することができ、extremal な多項式に対してはリーマン予想が成り立つという予想が導かれた。本研究期間では、この方向をさらに追及する研究を行なった。つまり、Type II formal weight enumerator 以外の divisible formal weight enumerator の系列探索である。その結果、古典的によく知られている q=2,3,4 以外の値に対しても、divisible by 2 である formal weight enumerator が存在することがわかった（例えば q=4/3）。このような q は実在の線型符号とは関係しないが、重み多項式レベルで言えば、ぜひ考察の対象とすべきものであり、大変意義深い発見であると言うことができる。