ディリクレ級数の種々の性質とその関連分野の研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26400030
• Research Institution: Hamamatsu University School of Medicine
• Principal Investigator: 古屋 淳 浜松医科大学, 医学部, 教授 (10413890)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: ディリクレ級数 / 約数問題 / 円問題 / 一般約数問題 / 平均値定理

Outline of Annual Research Achievements

当該年度は「数論的誤差項を係数にもつディリクレ級数の解析・それをもとにした離散型平均の解析」および「約数問題の類似問題における二乗平均の研究」についての研究を行う事を目標としたが、特に２つ目のテーマについて重点的に研究を行なった。特に、約数問題の類似問題における既存の結果の、円問題および一般約数問題への類似物の導出の考察を行った。
近年、南出氏により導入された約数問題についての一般化は、対応する生成関数、つまり関連するディリクレ級数をその導関数に置き換えたものを基にするものである。その考察・そこで得られた手法をガウスの円問題と一般約数問題に応用していくことを第１の目的とした。これらの場合は、微分法が適用できない項が存在したり、非常に多くの項が出てきてしまうなど、関数が複雑になり扱いが難しい場面が多く出てきてしまうのだが既存の公式を新たなるものに置き直す等の工夫を行い、周期的ベルヌーイ関数を用いた誤差項の近似公式の導出に成功した。これをもとにした二乗平均公式の導出の考察も行ったがこれに関しては年度内に計算の終了ができなかったため次年度への持ち越し課題とすることとした。
また、１つ目のテーマに関してはいくつかの取り組みを行ってはみたが当該年度においては上述の研究を主に行ってきたため最終的な結果を導くまでには至っていない。こちらに関しても次年度以降に継続して研究を行っていく課題としておきたい。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

上述のように、微分に関する拡張を行った円問題・一般約数問題の一般化についてはおおむね結果が得られており、また、継続して研究を行う内容も残されている状況である。この意味において、次年度に今までの成果の口頭での発表・論文としての成果の公表が行える状況である。ディリクレ級数と離散型平均の関連研究についても次年度に向けての課題がある程度整理されている状況であり、こちらの課題についても継続して研究が行える状況である。

Strategy for Future Research Activity

上記のように、当該年度における研究は年度内に終了しなかった内容・年度内の考察から得られた次なる課題を含むものである。その意味で、今後の研究においても今年度の研究・研究方法を継続しさらなる結果を導出していくという方針を立てておきたい。
具体的には、円問題の拡張においては、平均値定理、特に二乗平均公式の導出、約数問題の拡張における二乗平均の一般化、特に微分の階数を一般化した微分約数問題における平均値定理を考えていくこととする。
また、数論的誤差項約数を係数に持つディリクレ級数・誤差項の離散型平均値の研究に関しては、約数問題の誤差項Δ(x)の二乗を係数に持つディリクレ級数における結果の一般化、特に一般の誤差項に関するその種のディリクレ級数の性質の解析、を行っていくことを計画したい。