量子差分モノドロミー保存系,量子タイヒミュラー理論,可解格子模型の類似の追求

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26400033
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 長谷川 浩司 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30208483)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 量子群 / 可積分系 / パンルヴェ方程式

Outline of Annual Research Achievements

モノドロミー保存変形の量子差分化という問題について、可解格子模型との類似から考察を行うのが本研究課題である。1次元あるいは2次元可解格子模型における各サイトおよびそこに置く自由度を、リーマン球面上の接続の極及び留数の類似と考える。この視点から、主としてパンルヴェVI型方程式のq差分化を量子化(非可換化)する量子q差分パンルヴェVI型方程式について、その表現論的考察を行いつつ、格子模型における対称性を逆に考察したい。一般化の方向としては、サイトあるいは特異点の数を増やす多点化、1サイトの自由度を増す高階化、パラメータq依存性に関する楕円化などが主な課題である。

昨年度にひきつづき、高階化についての考察を、その幾何的側面についても含めて行った。とくに、Lam らによって、その場合のベックルント変換と関連すると思われる変換が quiver algebra とその mutation の言葉を用いて導入する論文が現れたので、対応について考察を行った。詳細について引き続き検討中であるが、Kashaev の研究との対応をつける場合と同じく、接続の変形問題に初めからある Lax 行列を彼らの構成からどう復元するかは問題である。また、普遍R行列の像として Lax 行列を作った場合に自然に現れる無限個の極を彼らの幾何的扱いにおいてはどう解釈すべきかも問題であると思われる。なお考察を要するが、解決がつけば量子差分版の幾何的見方について一定の進歩になると考えられる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

タウ変数を適切に、well-defined であることとともに幾何的な見方とも両立するよう定義することが具体的問題として残っており、これが解決しないと先に進みにくい状況にある。

Strategy for Future Research Activity

引き続きタウ変数の理解に努めるとともに、格子模型あるいは quiver mutation における有限周期性の変形理論としての意味を考察することで、当初の研究課題の一端を明らかにしてゆきたい。