2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400037
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30431901)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | クラスター代数 / 差分方程式 / 可積分系 / 双曲幾何 / 結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、クラスター代数の差分方程式と三次元多様体への応用に関する問題を考察することである。
27年度は以下の内容を論文にまとめた。トーラス上のネットワークに作用するアフィンワイル群を用いて、時間離散戸田格子方程式の3パラメータ(n,m,k)の一般化を構成した。(n,2,n-1)の場合が、広田氏らによって導入された周期的時間離散戸田方程式、(n,m,0)の場合が梶原氏らによって導入された有理写像に相当する。nとkの最大公約数をNとする。アフィンワイル群の可換部分群の作用を用いて(m+N)個の可換な有理写像を定義し、これらの有理写像について次の結果を得た。(1) 有理写像は離散的な時間発展を与えるが、Lax行列の固有多項式から定まるスペクトル曲線を保存する。(2) それらの時間発展がスペクトル曲線のヤコビ多様体上で線形化される。(3) リーマンのテータ関数を使って初期値問題を解いた。この研究はThomas Lam氏、Pablo Pylyavskyy氏との共同で行った。さらにこの研究を発展させるため、1月にミネソタ大学で両氏と研究打合せを行い、量子クラスター代数を用いたネットワークの非可換化に関する研究を進めている。
この成果について、第9回 IMACS国際会議 Nonlinear Evolution Equations and Wave Phenomena (Georgia大学、アメリカ)、ワークショップ Tropical aspects in geometry, topology and physics (MFO, ドイツ)、研究集会 Integrability in algebra, geometry and physics: New trends (Congressi Stefano Franscini, スイス)の国際会議で招待講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の2年目である27年度は、主に(I-ii) クラスター代数と代数幾何の関係を調べるためのよい差分方程式を探す について次のような進展があった。
先の実績概要に述べたように、今年度はトーラス上のネットワークに作用するアフィンワイル群を用いて戸田格子方程式の一般化に相当する有理写像を構成し、代数曲線のヤコビ多様体を用いてその初期値問題を解いた。さらに、ネットワークに作用するアフィンワイル群がクラスター代数のmutationで実現できることを発見した。この発見はクラスター代数と代数幾何を結び付ける重要な鍵となることが期待される。さらに、このようなネットワーク上の群作用とクラスター代数との関係は、量子化しても成り立つことが分かりつつあり、下の今後の方針で述べるようにさらなる発展が期待される。昨年度は量子クラスター代数を結び目の体積予想に応用する結果を得たが、今年度は量子クラスター代数をネットワークの量子化に結び付けることに成功しつつある。
以上のことから、本研究はおおむね順調に進んでいると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
差分方程式への応用について：ネットワーク上の群作用がクラスター代数のmutationで記述できることが明らかになり、クラスター代数と代数幾何を結び付ける鍵が得られた。これをもとにクラスター変数やy変数の代数幾何的な性質について考察を進める。一方、FockとGoncharovが導入した量子クラスター代数が有用であることが分かってきた。具体的には、量子y変数のmutationを用いて非可換な重みをもつネットワーク上の群作用、特にgeometric R行列の非可換化が自然に構成できることが分かった。この先、幾何クリスタルの非可換化、組み合わせ的な写像の非可換化への応用など、様々な興味深い問題が考えられる。この研究をさらに推進する。
三次元多様体への応用について：これまで研究を進めてきた、三次元多様体の四面体分割とクラスター代数のmutationとの対応に基づいた不変量の理解を進める。量子群やアフィンヘッケ環の表現を使った不変量の計算との関係も調べる。研究を効率的に進めるため、特に三次元多様体の専門家の意見を聴き議論を進める考えである。
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| Causes of Carryover |
洋書を購入する予定であったが、年度内に納入されない可能性があり今年度は見合わせたため、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
その洋書を購入する予定である。
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