2014 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
26400039
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
高木 俊輔 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (40380670)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 代数幾何学 / 可換環論 / 乗数イデアル / 判定イデアル / 局所コホモロジー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Tommaso de Fernex、Roi Docampo、KevinTuckerとの共同研究において、乗数イデアルと判定イデアルの対応について研究した。de Fernex-Haconは、乗数イデアルの概念をQ-Gorensteinとは限らない正規代数多様体上に拡張した。一方、判定イデアルは任意の正規代数多様体上で定義できる。de Fernex-Hacon の意味の乗数イデアルと判定イデアルの対応を数値的Q-Gorenstein多様体上で証明した。2次元正規代数多様体は常に数値的Q-Gorensteinなので、特に2次元正規代数多様体上の乗数イデアルと判定イデアルの対応が得られたことになる。
またHailong Daoとの共同研究において、体上本質的有限型なn次元正則局所環(S, m)とそのイデアルIが与えられたときに、Iに台を持つ局所コホモロジー加群とS/Iの深さの関係について調べた。特に、S/Iの深さが3以上ならば、Iに台を持つ局所コホモロジー加群のうちn-2次以上は全て消滅することを証明した。これは、体上本質的有限型な環の場合のMatteo Varbaroの予想の肯定的解決に他ならない。また剰余体S/mが標数0の代数閉体のとき、S/Iの深さが4以上ならば、Iに台を持つn-3次局所コホモロジー加群が消滅することと、S/Iのm進完備化の局所Picard群が捩れ群であることが同値であることを証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
交付申請書に記載した「研究の目的」の1つである、数値的Q-Gorensteinの場合の乗数イデアルと判定イデアルの対応については、de Fernex、Docampo、Tuckerとの共同研究で完全に解決することができた。さらに、F特異点の研究の過程で局所コホモロジーの振舞いについて調べていたところ、たまたま来日していたDaoとの共同研究に発展し、局所コホモロジーの消滅に関するVarbaroの予想の特別な場合を解決することに成功した。これは予想外の研究の広がりであり、研究は当初の計画以上に進展していると言える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
研究の目的であるF特異点と標数0の特異点の対応を示すため、この対応と密接な関係があるMustataとSrinivasの予想について精査する。この予想は現時点では曲線の場合すら未解決なので、この予想の弱形で、低次元の場合には既存の技術で成り立つことが示せるものを模索する。そして、それを用いてF特異点と標数0の特異点の対応について何が言えるか調べる。
また、de Fernex、Docampo、Tuckerとの共同研究において数値的Q-Gorenstein性について一定の知見を得たので、それを正標数の可換環論へ応用する。具体的には数値的Q-Gorenstein強F正則環の性質などを調べる。
|
| Causes of Carryover |
国際研究集会``Commutative Algebra and Singularity Theory 2014"（2014年8月富山にて開催)
のための外国人研究者招聘旅費として100万円を計上していたが、数名の方が直前になって参加を取りやめたため、結果として約30万円の次年度使用額が生じた。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度招聘できなかった外国人研究者のもとを訪問するための海外出張旅費として使用する。
|
