2016 Fiscal Year Annual Research Report
F-singularities and singularities in birational geometry in characteristic zero
| Project/Area Number |
26400039
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (40380670)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 代数幾何学 / 可換環論 / F特異点 / 標準特異点 / 対数的端末特異点 / 一般超平面切断 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、正標数の準射影代数多様体の一般超平面切断の特異点について研究した。X を標数p（pは0もしくは素数）の代数閉体上定義された3次元準射影代数多様体とし、HをXの一般超平面切断とする。p=0のときMiles Reidは、Xが高々標準特異点しか持たないならば、Hは高々Du Val特異点しか持たないことを証明した。Reidの証明には自由な線形系に対するBertiniの定理が用いられるが、これは正標数では成り立たない。「Reidの定理と同じ主張が正標数で成り立つか？」というのは、正標数の双有理幾何学において基本的な問題の一つであった。佐藤謙太との共同研究において、MJ (Mather-Jacobian) 標準特異点の理論を利用することで、この問題を肯定的に解決した。この系としてpが5以上ならば、Xの任意の特異点（閉点）は、有限個を除いて、アフィン直線と有理二重点の直積に同型な解析的近傍を持つことが示される。なおp=2, 3のときは、廣門正行・伊藤浩行・齋藤夏雄によって反例が構成されている。
また同じ共同研究において、pが7以上のとき、Xが高々対数的端末特異点しか持たないならば、Hも高々対数的端末特異点しか持たないことを証明した（以下、この主張を定理Bと呼ぶ）。定理Bの証明にはF特異点の理論を利用する。標数7以上の代数閉体上定義された2次元対数的端末特異点はF正則特異点であることが原伸生によって知られていたが、この結果を代数閉体上定義されているとは限らない場合に拡張した。この拡張とF正則特異点に対するBertiniの定理を組み合わせることで、定理Bが従う。
|
