2014 Fiscal Year Research-status Report
対数的小平次元が1以下となる開代数曲面と正規代数曲面の構造解明
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26400042
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
小島 秀雄 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90332824)
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2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 開代数曲面 / 対数的小平次元 / 正規デルペッゾ曲面 / 多項式環 / 高階導分 / 消去問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は対数的小平次元が1以上となる開代数曲面の対数的多重種数, 正規デルペッゾ曲面, 多項式環の整閉多項式, 多項式環の局所有限高階導分について国内外の研究者との研究打ち合わせを行いながら研究を遂行した。得られた研究成果の一部は京都大学数理解析研究所で開催された研究集会等で発表した。本年度に得られた主な研究成果は以下の通りである。
(1) ピカール数が1で高々有理的対数的標準特異点のみを持つ正規デルペッゾ曲面の部分的分類を高橋剛氏とともに遂行した。また, 特異点の個数が1となる場合を決定し, 更に, 非特異部分の基本群を計算した。これにより, 特異点として対数的標準特異点を1個だけもつ正規射影有理曲面について, その非特異部分の対数的小平次元が-∞となる場合, その非特異部分の基本群が有限アーベル群になることが証明できた。これは, R.V. Gurjar氏とD.-Q. Zhang氏による特異点として対数的末端特異点を1個だけもつ正規射影有理曲面に関する結果のうち非特異部分の対数的小平次元が-∞の場合を改良している。
(2) 研究代表者が指導している大学院生の長峰孝典氏とともに, 整域上の多項式環における整閉多項式について研究した. 基礎環の商体を考え, 体上で知られている結果を用いることにより, UFD上の多項式環の場合に研究代表者と加藤雅也氏によって得られていた結果を整域上の多項式環の場合に一般化した。
(3) 体上の3変数多項式環の局所有限高階導分の核について, その核が自明でない階層的局所有限高階導分を持つとき, その核は多項式環であることを証明した。この結果を用いることにより, 最近B.M. Bhatwadekar氏とN. Gupta氏によって証明された, 非完全体上の2変数多項式環に対する消去定理の別証明を与えることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究実施計画で予定していた研究内容は主に, (1) 対数的小平次元が0となる正規アフィン代数曲面の対数的極小モデルの構造を調べる, (2) 非特異射影曲面上の因子でそのD次元と数値的D次元が異なるものの分類を行う, (3) ピカール数1の正規デルペッゾ曲面の分類, (4) 非有理代数曲面の対数的小平次元と対数的多重種数の関係を調べる, であった。
上記の研究課題の内, (3)は完全ではないものの部分的な分類結果は得られており, 論文として発表できる結果を得ているので、順調に進んでいる。(1), (2), (4)については, まだ論文として発表できるような結果は得られていないが, 研究は進んでいる。今年度は上記の研究課題の他に, 研究実績の概要の(2)と(3)で記載した当初は全く予定されていない成果も得られた。
今年度予定していた研究課題の内, 一部の課題において順調に研究が進んでいるとは言えないものが含まれているが, 今年度中に２本査読付き学術雑誌に受理された論文を発表できたことと, 当初は予期していない研究成果も得られた。以上の理由により, 今年度の研究はおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究成果と新たに研究するべき課題が見つかったことから, 交付申請書に記載した研究実施計画を少し変更する。次年度は以下の課題について研究を遂行する。
(1) 対数的小平次元が0となる正規アフィン代数曲面のうち, 不足数が正となるものについて, その対数的極小モデルを分類する。また, 対数的n種数が正となる自然数nの値を調べる。(2) 対数的小平次元が1となる開代数曲面の構造定理と正標数での対数的代数曲面の極小モデル理論を用いることにより, 非特異射影曲面上の因子でそのD次元と数値的D次元が異なるものを調べ, 分類を実行する。(3) ピカール数が1で高々有理的対数的標準特異点のみを持つ正規デルペッゾ曲面について, 特異点の個数が4になるものを中心に分類を実行する。更に, 加法群スキームや有限群が作用するような場合を調べる。(4) 整域上のアフィン多元環の整閉部分環が高階導分の核として表されるための条件を調べ, 具体例を計算する。
上記の研究課題の内, (1)～(3)については連携研究者の岸本崇氏, 齋藤夏雄氏, 高橋剛氏, 協力研究者のD.-S. Hwang氏, K. Palka氏と連携して研究を遂行する。また, (4) については, 研究代表者が指導している大学院生の長峰孝典氏と協力しながら研究を遂行する。
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| Causes of Carryover |
本年度は71779円が次年度使用として生じたが, これは, 本年3月後半の旅費の支払いが4月になってしまったことによる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額71779円については, 本年3月後半の旅費として使用する。
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Research Products
(6 results)
