2015 Fiscal Year Research-status Report
群環の表現とAuslander-Reiten有向グラフ
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26400051
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
河田 成人 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (50195103)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Auslander-Reiten quiver / 有限群の表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限群の完備離散付値環上の表現（整数表現）におけるAuslander-Reiten有向グラフの連結成分のグラフとしての形状を決定することを大きな目標としている。そのために基本的な直既約表現加群を含む連結成分について考察を進め、それらの実例におけるグラフの形状は半平面上に無限に広がる格子型か半無限に伸びる筒型（これらのタイプの有向グラフをＡ無限型と呼ぶことにする）であることは確かめられている。今までの結果を踏まえた上で、一般の直既約表現加群を含む連結成分の形状を研究した。平成27年度は、基本的な直既約表現加群を含む連結成分を研究した時に見つけた手法を、一般の直既約表現加群を含む連結成分の研究に活かせるような一般化を試みた。有限群の表現論においては、問題を局所部分群と呼ばれる部分群に帰着させることが有効となる。直既約表現加群にはヴァーテックスと呼ばれる素数位数の部分群を定義されて重要な役割を果たす。直既約表現加群の有機的な集まりであるAuslander-Reiten有向グラフの連結成分においても、ヴァーテックスに相当する部分群を見つけることが研究の手始めとなる。これまで研究されていた実例では、基本的な直既約表現加群のヴァーテックスが連結成分のヴァーテックスに一致していた。そこで、連結成分のヴァーテックスと一致するような直既約表現加群の持つ性質を模索した。その結果として、与えられた有限群におけるAuslander-Reiten有向グラフの連結成分と局所部分群の連結成分がグラフとして一対一に対応する条件をヴァーテックスの言葉で与えることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限群の整数表現におけるAuslander-Reiten有向グラフの一般的な形状の解明を目指して研究を進めている。問題の解決までには多くの関門があるが、それまでの道標として、有限群のモジュラー表現におけるAuslander-Reiten有向グラフの形状がＡ無限型であることを証明したK. Erdmannの論法が参考になる。その中でも、与えられた有限群におけるAuslander-Reiten有向グラフを局所部分群のAuslander-Reiten有向グラフに帰着させることは重要な局面である。このことに関連して新たな知見が得られたので今後の研究の進展に期待ができる。また、群の整数表現のAuslander-Reiten有向グラフの研究からHeller表現加群とよばれるクラスが見出されたが、それに伴って一般の整環においてもHeller表現加群が重要な役割を果たしていることが認識されつつある。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限群の正標数の体上のモジュラー表現では、野生型ブロックのAuslander-Reiten有向グラフの連結成分はすべてＡ無限型であることが知られている。その解明において利用されたモジュラー表現における方法を吟味して改良し、整数表現でも使える手法を開発する。その一方で整数表現ならではの特徴を生かした手法も模索する。特に、整数表現加群を簡約化して得られるモジュラー表現加群の性質を反映させられる状況を整備する。現時点では、高さが0の表現加群を含む連結成分の形状は、簡約化されたモジュラー表現加群に関するある条件のもとではＡ無限型であることが示されたので、この制約条件を弱めることができないか研究を進める。一方で、多くの実例を具体的な有限群において検証することで一般論に通じる理論を探る。また、群整環の表現論においてHeller表現加群を定義したが、これは射影的表現加群の根基の一般化とも見做すことができる重要なクラスと期待できるので、群の整数表現だけでなく一般の整環のAuslander-Reiten有向グラフの研究においてもHeller表現加群の応用を考察する。
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| Causes of Carryover |
2015年度は遠方での研究集会が多くなく、多額の旅費を必要としなかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年度は遠方での研究集会が多く予定されており、研究発表や研究打ち合わせを行うために旅費を有効に使用する。
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