2016 Fiscal Year Research-status Report
群環の表現とAuslander-Reiten有向グラフ
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26400051
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| Research Institution | Nagoya City University |
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Principal Investigator |
河田 成人 名古屋市立大学, 大学院システム自然科学研究科, 教授 (50195103)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Auslander-Reiten quiver / 有限群の表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
標数0の完備離散付値環Rの極大イデアルπRによる剰余体k = R/πRは正標数pであるとする（pは素数）。有限群GのRを係数とする整群環RGの表現（整数表現）におけるAuslander-Reiten有向グラフの連結成分について、平成28年度は特にヴァーテックスに注目して考察を進めた。直既約RG-表現加群LとGの部分群Hに対して、LがあるRH-表現加群のGへの誘導加群の直和因子として現われるとき、LをH-射影的であるいう。また、LがH-射影的となるような部分群Hの中で位数が最小なものQをLのヴァーテックスと呼ぶ。LのヴァーテクスQは共役を除いて一意的的に定まり、p-部分群であることが知られている。また、Auslander-Reiten有向グラフの安定連結成分Θに対し、Θを構成する直既約RG-表現加群のヴァーテックスの集合を考えると、その中に位数が最小のものが共役を除いて唯一つ存在することも知られており、この位数が最小のものをΘのヴァーテックスと呼ぶ。ヴァーテックスがQであるような直既約RG-表現加群Lに対し、kG-加群L/πLを直既約分解したときにQをヴァーテックスとしてもつ直和因子が現れるという特性(★)を考える。Qをヴァーテックスとしてもつ直既約RG-表現加群Lが特性(★)を持つとき、Lを含むAuslander-Reiten有向グラフの安定連結成分Θが無限型でHeller表現加群を含まなければ、ΘのヴァーテックスはQであることが分かった。さらにこの場合には、Θに含まれるすべての直既約RG-表現加群Xに対し、kG-加群X/πXの直既約分解においてQをヴァーテクスとしてもつ直和因子が現れることを示すこともできた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限群の整数表現におけるAuslander-Reiten有向グラフの性質を調べるとき、連結成分を構成する直規約表現加群のヴァーテクスがどのようなものであるかを知ることが重要となる。研究実績の概要で述べたように、直既約表現加群のヴァーテックスにまつわる特性で、Auslander-Reiten有向グラフの連結成分のヴァーテックスに深く関係するものを見つけることができたので、今後の研究に役立てられることが期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限群の正標数の体上のモジュラー表現では、野生型ブロックのAuslander-Reiten有向グラフの連結成分の形状は、すべてＡ無限型であることが知られている。また、連結成分のヴァーテックスについても詳しいことが調べられている。そのため、モジュラー表現における議論をよく吟味して、整数表現のAuslander-Reiten有向グラフでも応用できる方法を開拓する。特に、整数表現加群を簡約化して得られるモジュラー表現加群の性質でAuslander-Reiten理論を関連付けられる条件を模索する。
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| Causes of Carryover |
購入予定の図書の出版が遅れたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
必要な図書が出版され次第、購入する。また、できるだけ多くの研究集会に参加して最新の研究成果の情報を取集するために旅費を使用する。
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