2017 Fiscal Year Annual Research Report
Representations of group rings and Auslander-Reiten quivers
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26400051
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| Research Institution | Nagoya City University |
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Principal Investigator |
河田 成人 名古屋市立大学, 大学院システム自然科学研究科, 教授 (50195103)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Auslander-Reiten有向グラフ / 有限群の表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Gを有限群とし，pはGの位数を割り切る素数とする．完備離散付値環Oはπで生成される極大イデアルπOを持ち，剰余体k = O/πOは標数がpであるとする．有限群GのO上の群環をOGで表す．直既約OG-表現加群Vに対し，Gの部分群の集合 {H≦G : VはOH-表現加群から誘導された加群の直和因子} には極小なものが一意的に存在する. この極小部分群をVのヴァーテックスと呼びvx(V)で表す．直既約RG-表現加群のヴァーテックスはp-部分群である．
Pを有限p-群とし，QをPの真の正規部分群とする．Tを自明なOQ-加群をPへ誘導したOP-表現加群とする．Greenの直既約定理よりTは直既約で，vx(T) = Q である．今，群環OPのAuslander-Reiten有向グラフの連結成分でTを含むものをΘとおくと，Θのtree classはA無限型であり，TはΘの端に位置するが，Θの端に位置していない直既約OP-表現加群のヴァーテックスはQでないことや，Θに属する直既約OP -表現加群Uについて，kP-加群U/πUのすべての直既約因子はT/πTのあるsyzygyに同型であることが確かめられた．特に，U/πU の各直既約因子のヴァーテックスは Qであることが分かった．さらに，UをP-ソースに持つ直既約OG-表現加群に注目することにより，Gのp-部分群Pとその正規部分群Qに対して，次の性質(i), (ii)を持つ直既約 OG-表現加群 X が存在することを示すことができた: (i) vx(X)=P；(ii) kG-加群X/πXの直既約分解において，各直既約因子のヴァーテックスはQに含まれ，それらのうちの少なくとも一つはQに一致する．
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