2014 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
26400052
|
|---|
| Research Institution | Osaka Prefecture University |
|---|
Principal Investigator |
加藤 希理子 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00347478)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 環論 / 圏論 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度得られた実績は、以下のとおりである。
（１）N-複体に関する研究 Ｎ-複体とは、鎖複体の一般化である。鎖複体とは写像の列で微分写像２回の合成が零となるようなものであるが、微分写像Ｎ回の合成が零となるような写像の列をＮ-複体と呼ぶ。Ｎ-複体は、１９４０年代に単体的複体のホモロジー研究に端を発するが、９０年代に入って、表現論的な見地から研究されるようになった。
本研究では、三角圏によるＮ－複体のホモロジー理論へのアプローチを行った。すなわち、Ｎ-複体のホモトピー圏および導来圏を定義して、射影分解や入射分解など、通常の鎖複体における基本的な定理を示した。Ｎ－複体の三角圏構造は、懸垂がシフトと異なるなど、通常の鎖複体と異なる点があり、これらを明らかにすることで、Ｎ-複体のホモロジー代数が整備されたと言える。
基本的な枠組みだけでなく、入射ホモトピー圏のコンパクト生成性など、Ｎ－複体は通常の複体の性質を、ほぼそのまま有することが解ってきた。この観点から調べてみると、意外な事実が判明した。たとえば、加法圏のＮ－複体の導来圏は、適当な拡大圏の通常の複体の導来圏と三角同値である。環の加群のＮ－複体は、（Ｎ－１）次行列の２－複体と導来同値になる。
（２）三角圏の貼り合せに関する研究 三角圏の２つの部分圏は、完全列による拡大によって貼り合せることができる。貼り合せた圏は、両方の圏の性質を併せ持つので、便利な手法として多くの研究者が用いている。ところが、三角部分圏どうしの貼り合せは、三角部分圏になるとは限らない。本研究では、貼り合せが三角圏になるための必要十分条件を与えた。２つの圏が直交すれば、貼り合せが三角圏になることは知られていた。主定理は、古典的な事実が本質であったことを物語る。すなわち、貼り合せが三角部分圏になるための必要十分条件は、ある商圏において、もとの２つの圏が直交することである。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Ｎ－複体の導来圏と、通常の導来圏の三角同値は、従来知られていた導来同値の型とは全く異なる発見であった。
いっぽう、部分圏の交叉や複数の捩れ対から新しい捩れ対を作る方法については、当初予想していたよりは、条件を要することがわかった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
N-複体の導来圏の研究には、入射分解の構成などに、古典的なホモロジー代数の手法が有効であった。これらを三角対の捩れ構造の観点からの意味づけを考えたい。
|
