特異点の可換環論

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26400053
• Research Institution: Nihon University
• Principal Investigator: 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 研究員 (10087083)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 特異点 / 局所環 / 整閉ｲﾃﾞｱﾙ / F-threshold / Hilbert-Kunz 重複度 / ｲﾃﾞｱﾙの core / Rees 環

Outline of Annual Research Achievements

今年度は、特に次の２つのテーマを深く研究した。
1. 2次元正規特異点の整閉ｲﾃﾞｱﾙの性質。前年度に pg-ideal の定義を確立し、このクラスのｲﾃﾞｱﾙの様々な良い性質を得ていたが、今年度は pg-ideal の core との関係、Rees 環や Hilbert 多項式との関係で新しい発見があり、２つの論文にまとめた。(奥間智弘、吉田健一両氏との共同研究)これらの成果を 2015 年7月のアメリカ数学会の夏の学校 (Utah 大学), 11月の可換環論シンポジウム, 2016年3月のヴェトナムでの国際研究集会などに於いて発表した。
2. 正標数の手法を用いた特異点の研究に関しては、Hilbert-Kunz 重複度、F-hreshold (F-閾値) などを中心に研究を進めている。Kansas 大学の Heilong Dao 氏との共同研究 "Some computations of generalized Hilbert-Kunz functions and　Multiplicity" が Proceedings of American Mathematical Society に掲載予定である。
また、F-threshold に関して、2015 年に Barcelona で行われた Workshop に於いて講演を行った。以上のように、研究成果は着々と得られている。
研究費の使途は主に国内、海外への旅費だが、Utah, Barcelona, 国内諸学会への
出張旅費など、研究連絡に大変効果的に使用されている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

「研究実績の概要」で書いたように、着実に成果を挙げているし、研究成果の論文も前年度の成果が電子出版され(近日中に出版)、今年度の研究成果が2点掲載予定 (accepted)
になっている。また、口頭発表も海外で3件、国内で3件行って、好評を得ている。

Strategy for Future Research Activity

今後も研究を継続するが、2年後の研究終了に向かい、特に
1. pg-ideal 分解、一般のｲﾃﾞｱﾙの core の決定
2. F-threshold, Hilbert-Kunz 重複度の更なる進展
を目指して研究を継続する。

Causes of Carryover

使用予定であった、国際研究集会の旅費について、他からの援助が得られたため、
使用額が減額され、余剰が生じた。また、来年度に複数の海外出張が予定されているため、今年度の使用をやや控えて、来年度に使うようにした。

Expenditure Plan for Carryover Budget

2016年 Michigan 大学における可換環論の国際研究集会、ヴェトナムにおける
国際研究集会、Essen 大学の J. Herzog 教授との共同研究のための海外旅費などに使用する予定である。

Research Products

• [Journal Article] Good ideals and $p_g$-ideals in a two-dimensional normal singularities (2016)
  • Author(s): T.Okuma, K. Watanabe, K. Yoshida
  • Journal Title: Manuscripta mathematica Volume: 未定 Pages: 印刷中
  • DOI: 10.1007/s00229-016-0821-7
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Upper bound of multiplicity of F-rational rings and F-pure rings, (2015)
  • Author(s): C. Huneke and K. Watanabe
  • Journal Title: Proc. Amer. Ｍａｔｈ． Ｓｏｃ． Volume: １４２ Pages: 5021-5026
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
• [Presentation] Almost Symmetric Numerical Semigroups (2016)
  • Author(s): 渡辺 敬一
  • Organizer: 研究集会「代数系、論理、言語と計算機科学」
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所
  • Year and Date: 2016-02-16
  • Invited
• [Presentation] A classification of integrally closed ideals in 2-dimendional normal singularities and a characterization of (2015)
  • Author(s): K. Watanabe
  • Organizer: The 3rd Franco-Japanese-Vietnamese symposium on singularities,
  • Place of Presentation: Math. INstitute, Hanoi, Vietnam
  • Year and Date: 2015-12-02
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A characterization of 2-dimensional rational singularities via Core of ideals, (2015)
  • Author(s): T. Okuma, K. Watanabe and K. Yoshida,
  • Organizer: 第37回可換環論シンポジウム
  • Place of Presentation: 倉敷シーサイドホテル
  • Year and Date: 2015-11-21
• [Presentation] F-thresholds, (2015)
  • Author(s): K. Watanabe
  • Organizer: Workshop on Multiplier Ideals, Test Ideals and
  • Place of Presentation: Univ. Politecnica de Catalunya, Barcelona,
  • Year and Date: 2015-09-08
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] p_g-ideals and core of integrally closed ideals in normal surface singularities, (2015)
  • Author(s): K. Watanabe
  • Organizer: AMS Summer Institute, Univ. of Utah,
  • Place of Presentation: Univ. of Utah,
  • Year and Date: 2015-07-14
  • Int'l Joint Research