2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400057
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| Research Institution | Ube National College of Technology |
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Principal Investigator |
三浦 敬 宇部工業高等専門学校, 一般科, 准教授 (50353321)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ガロワ点 / ガロワ群 / 平面代数曲線 / 自己同型群 / リース積 / リサージュ曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
射影多様体，特に（平面）代数曲線のガロワ点理論の展開と応用を行った．射影平面上の点で，その点からの点射影が，平面代数曲線のガロワ被覆を与えるときに，その点をガロワ点と呼ぶ．もしくは，点射影により引き起こされる関数体の体拡大がガロワ拡大となるような点である．ガロワ点とならない場合は，関数体の体拡大のガロワ閉包をとることでガロワ群（モノドロミー群）を決定する．このような状況のもと，以下の結果を得た．
１．代数曲線の自己同型群について：大渕朗氏（徳島大学）との共同研究で，群のリース積の概念を用いることで，ある種の非ガロワ点でのガロワ群の評価に成功した．群のリース積とは，ある種の特別な半直積として定義される．これによれば，ガロワ閉包曲線の自己同型群の研究に応用できる．
２．リサージュ曲線の拡張：三角関数の３乗で定義されるアステロイドを念頭に，リサージュ曲線の拡張版を新たに定義し，点射影を用いることで関数体の体拡大の様子を考察した．この場合も，群のリース積が大きな役割を果たし，ガロワ群の評価を行うことに成功した．
また，９月には本研究課題の補助により滋賀大学大津サテライトプラザにおいて「Workshop on Galois point and related topics」を開催した．ガロワ点を中心に，関連する話題について活発な議論が行われた．さらに，１月には宇部工業高等専門学校において「第２回代数幾何学研究集会－宇部－」を開催した．ガロワ点関連の話題について活発な議論が行われた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的「ガロワ点でのガロワ群と自己同型群の関係を明らかにする，応用として自己同型群の決定」について，群のリース積の概念を用いることで，ある種の非ガロワ点でのガロワ群の評価に成功した．また，「特異点を持つ代数曲線のガロワ点を解析する」についてもリサージュ曲線の拡張版を定義し，解析を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
ガロワ点でのガロワ群と自己同型群の関係が明らかになりつつあるので，この研究を進め，代数曲線の自己同型群の決定を試みたい．また，この際に頻繁に用いられる群のリース積について，周辺の群論を駆使することでさらなる応用を行いたい．
また，既に得られている自己同型群の結果と群の表現論を用いてガロワ点の再定義，および理論の再構築を行いたい．
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| Causes of Carryover |
研究計画通りに研究打合せの日数および回数を確保することが困難な状況となり，旅費について次年度使用額が生じてしまった．また，論文投稿の該当も無かったので，英文校正にかかる費用について次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
論文として投稿すべき結果が出ているので，論文を作成し英文校正を依頼することで助成金を使用する．また，年間予定を早々に立てることで研究打合せの回数の確保を行い，助成金を使用する．
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