2017 Fiscal Year Annual Research Report
A Weierstrass type representation for surfaces via loop group method and its applications
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26400059
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
小林 真平 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (40408654)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ワイエルシュトラス型の表現公式 / ループ群 / ソリトン方程式 / 極小曲面 / 曲線論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は, 三次元ハイゼンベルグ群の非自明なトポロジーを持つ極小曲面と，一般アフィン群（一般線形群とR^nとの半直積群）で不変な平面曲線及び空間曲線についての研究を行った．三次元ハイゼンベルグ群の極小曲面が非自明なトポロジーを持つ場合には，非コンパクトな群を扱う必要があり，この事により定式化を得るには非常な困難があった．特に，ループ群の岩澤分解がほとんどの場合，大域的にできない事が知られており，このことが問題を複雑にしている．しかしながら，一つ一つの議論を丁寧に積み重ねることによって，最終的に十分な成果を得ることができた．この研究は，筑波大学の井ノ口順一氏とミュンヘン工科大学のDorfmeister Josef氏との共同研究である．
一方，これまで，ユークリッド空間の曲線を範として，BlaschkeやE. Cartanを始めとするさまざまな研究者が，等積アフィン群や射影変換群について不変な曲線論を展開してきた．しかしながら，等積アフィン群と射影変換群の間に位置する一般アフィン群で不変な曲線論については，今まで十分な研究が行われてこなかった．そこで，神戸大学の佐々木武氏との共同研究において，この群で不変な曲線論の基礎を展開した．特に，一般アフィン群の元での長さを定義し，変分問題を論じた．
これらの２つの研究のうち，一般アフィン群で不変な曲線論については，５０ページの論文に纏め現在投稿中である．また，三次元ハイゼンベルグ群の極小曲面については，現在約５０ページの論文に纏め内容を精査しているところである．
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