2014 Fiscal Year Research-status Report
有理ホモロジー球面をリンクにもつ複素2次元特異点の研究
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26400064
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
奥間 智弘 山形大学, 理学部, 教授 (00300533)
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2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 2次元正規特異点 / good ideal |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，複素2次元特異点のうちリンクが有理ホモロジー球面になるものについて基本的な不変量や特徴のある複素構造をとらえることと，一般の2次元特異点の局所環の good ideal について，pg-ideal とよばれる極大イデアルに属する準素整閉イデアルの理論を応用して調べることである．
1つ目の課題については，特異点の最小良特異点解消空間上の接層の第1次コホモロジーの次元について研究協力者の Nemethi 氏と共同で研究を行った．擬斉次特異点の場合には，グラフの情報，すなわちリンクのザイフェルト不変量から次元を計算することができた．その手法をリンクがザイフェルト多様でない場合に拡張することを目標にいくつか計算を行った．予想や問題などが得られたが，定理として述べられる結果には至っていない．
2つ目の課題は渡辺敬一氏と吉田健一氏と共同で研究を行った．2次元特異点の局所環のpg-ideal とよばれる整閉イデアルは，我々が特異点解消を用いて導入したものである． それらは有理型特異点の整閉イデアルがもつ良い性質を備えたイデアルである．まず，リース環を用いた pg-ideal の特徴づけを与えた．また，pg-ideal Iに対して，その極小節減 (minimal reduction) と I のコロンイデアルや I のコア（I の節減全体の共通部分）が再び pg-ideal になることなどの基礎的な結果を得た．それを応用してgood ideal の存在定理を証明し，有理型特異点の場合にコアが good ideal の半群上で準同型の性質を持つことも示した．さらに，極大イデアルが pg-ideal になる特異点の性質を調べ，有理型でない数値的ゴレンスタイン特異点の場合には，次数１の極大楕円型特異点（S.S.T. Yau の意味で）になることわかった．以上の結果を27年度中に論文にまとめ投稿したい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
複素2次元特異点のうちリンクが有理ホモロジー球面になるものについて基本的な不変量や特徴のある複素構造をとらえるという課題に関しては，いくつかの計算を行う程度しかできなかった． しかし，もう一つの課題である2次元特異点の局所環のpg-ideal に関しては以前からの問題である good ideal の存在定理が解決し，新規性のある結果が複数得られ，論文にまとめる予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も複素幾何やトポロジー，代数幾何，可換環論など研究対象に関わる分野の研究集会に参加し，成果を発表しつつ研究交流を積極的に行い，最新の文献も入手し必要な知識を補いながら研究をすすめたい．また，共同研究者との研究協力を今後も継続したい．
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| Causes of Carryover |
年度の後半に多忙により研究打ち合わせの出張が思うようにできない時期があったため，短期出張経費程度の残額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
「次年度使用額」分については，27年度の業務の状況を確認しつつ研究活動計画を立て，出張旅費の一部として有効に使用したい．
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