2015 Fiscal Year Research-status Report
特異点をもつ時空の曲面とワイエルストラス型表現公式
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26400066
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (10221657)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 特異点 / 波面 / ミンコフスキー空間 / 零平均曲率曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3次元時空の特異点を許す極大曲面（極大面）の研究の過程で「零平均曲率曲面」でその因果的特性が空間的から時間的に変化するものが現れる．このような現象についての先行研究を考察し,さまざまな例を構成した.とくに3次元ミンコフスキー空間の零平均曲率をもつ埋め込みの例（そのいくつかは２変数関数のグラフになっており，ユークリッド空間の極小曲面の方程式に関するベルンシュタインの定理に対応する命題が，ミンコフスキー空間の零平均曲率方程式に関しては成立しないことを示している）を多数構成した．
3次元ユークリッド空間やリーマン多様体内の波面の特異点，とくにカスプ辺に対して，カスプ的曲率を導入した．カスプ辺の曲率としては，代表者らがすでに導入した特異曲率，極限法曲率があるが，カスプ的曲率と極限法曲率の積（積曲率）が内的な量（計量のみから定まる量）であることを示し，この量と特異点の近くでのガウス曲率の挙動との関係を調べた．さらに，燕の尾を含む特異点のクラスについても類似の考察を行った．
特異点をもつ曲面の誘導計量の性質を抽出し，特異点をもつ計量のクラスとしてKossowski計量（波面の特異点の内的な性質をもつ），Whitney計量（交叉帽子の内的な性質をもつ）の概念を導入し，特異点をもつ計量の内的不変量との関係をあきらかにした．また，Kossowski計量と，代表者が以前に導入した「連接接束」の概念が１対１に対応することを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
時空の零平均曲率曲面で因果的特性を変えるものの具体例の構成は当初の計画ではあまり重要視されていなかったが，非常に興味深い幾何学的な性質があることがわかり，今後しばらく研究を継続する必要がでてきた．一方，ド・ジッター空間のCMC-1面については，その完備でない端の挙動が複雑であることがだんだんわかってきた．一部は特異点を超えて「解析的に延長される」ことがわかっているが，一般論はまだ構築されていない．研究計画にある3-noid の分類は，この端の挙動と不可分であることから，完成には至っていないが，さまざまな副産物が生じている．したがって，当初の計画とは少し異なった方向に，しかし順調に進展している，という状況である．
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| Strategy for Future Research Activity |
ド・ジッター空間のCMC1面に関しては，その完備でない端の挙動，解析的延長の一般的な理論の構築を行い，単純な状況での曲面の分類を試みる．
また，３次元時空の因果特性が変化する曲面に関する理論を構築し，得られた例の位置づけを明確にする．
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| Causes of Carryover |
補助金を主に旅費として使用する研究計画であったが，2015年度は時間をとることが出来ず，旅費としての使用額が減少している．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年度はすでに国際研究集会での招待講演などが決まっていること，国際共同研究の必要が生じていること，研究が進捗しているので共同研究者との「顔をあわせての議論」がますます必要となっていることから，例年より旅費が必要となるはずである．
（2016年9月，国際研究集会（スペイン），12月ころ国際共同研究（オーストリア）の予定）
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