2014 Fiscal Year Research-status Report
幾何学的変分問題と離散幾何学の数値解析を援用した研究
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26400067
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 離散幾何学 / 数値解析 / ラプラシアンの固有値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元ユークリッド空間内の trivalent な離散曲面の幾何学に関する研究を行った。研究代表者は、小谷らとともに、trivalent グラフから構成される結晶格子を考察し、その標準実現を通じて、負曲率炭素結晶のいくつかの例を構成した。 本研究では、それらがなす離散曲面を例にとり、trivalent 離散曲面の曲率を考察することが第一の目標であった。
２６年度の研究では、trivalent 離散曲面に対するガウス曲率の定義考察し、我々が得た負曲率炭素構造のみならず、C60, カーボンナノチューブなどの、広く知られた trivalent 離散曲面に対して、ガウス曲率の計算を行った。 その結果、従来の組み合わせ的な曲率の定義では、曲率０となってしまう離散曲面に対しても、「グラフィックス」から想像できるような負曲率となる離散曲面の例が存在することが確認できた。
一方、材料科学にその動機付けをもつ、「２種類の熱伝導性を持つ媒質」の固有値の最小化（最適配置）の研究も行った。 この研究では、平面内の有界領域上で、固有値を最小化する物質配置の最適化を行っているが、当初、領域の対称性が、最適配置の対称性を導くと考えていた。 しかしながら、領域の凸性が欠ける場合には、領域の対称性が最適配置に遺伝しない例があることが確認できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在までに、trivalent 離散曲面のガウス曲率は、適切と考え得られる定義を得ることができ、それに基づく数値計算例を得ることができた。 したがって、離散曲面の幾何学の第一歩であると考えられる曲率の定義には成功したと考えている。
また、物質最適配置の研究においても、非自明な対称性破壊の例を確認できた。 これは、今後、なぜ対称性破壊が発生するのかという研究への第一歩であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
離散曲面の幾何学に関しては、今後「平均曲率」の定義と、その数値計算を行う。 さらに、「標準実現」となっている離散曲面の平均曲率に関する研究を重点的に行う。 これにより、「結晶格子の標準実現」の概念と、古典的な幾何学での極小曲面に対応する概念との対応が理解できる可能性がある。
また、物質最適配置の研究では、非凸領域（非単連結領域）での領域最適配置を考察し、最適配置での対称性破壊の原因を探ることを考える。 この研究は、より非線形度の低い問題に関しての既知の結果での議論を見直すことにより、我々の問題に対しての結果を得ることができると期待している。
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| Causes of Carryover |
今年度、家族が入院加療が必要となったため、当初予定していたよりも、出張回数が減り、また、出張日数も短縮することが多くなったため、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
この理由は、今年度もある程度継続する可能性が高いため、当初の研究計画よりも、出張などの回数および日程を調整せざるを得ないと考えている。 しかしながら、共同研究者との研究打ちあわせにかんしては、共同研究者に来てもらうなどの対応を行うことによって、研究計画に大きな支障は生じないと考える。
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