2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400068
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岩井 敏洋 京都大学, 情報学研究科, 名誉教授 (10021635)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | スペクトル流 / ディラック方程式 / 境界条件 / チャーン数 / 写像度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「半量子力学の対称性とトポロジー」という標題で研究を続けている。半量子系とは、対象とする量子力学系の観測結果に基くスペクトル構造の特徴を考えて、量子的力学変数(作用素)の一部を古典力学的な変数に置き換えるという手続きで得られる実効的な力学系である。球面上で定義された半量子系のハミルトニアン(パラメータ付きのエルミート行列)の固有値に付随する複素直線バンドルのチャーン数はハミルトニアンのパラメータ変化に対応して変化する。その変化(デルタ・チャーンと呼ぶ)は、球面上の特異点(半量子系のハミルトニアンの固有値が縮退する点)でのハミルトニアンの線形化(ホモトピー変形)で捉えることができ、球面上の特異点周りの円周から直線バンドルの構造群 U(1) への写像の写像度(回転数)に等しいことを示した。これに関連して、昨年度は、量子系では２次元ディラック方程式のパラメータ変化に伴う固有値のバンド構造の変化を、APS(Atiyah-Patodi-Singer)境界条件のもとで、スペクトル流という概念で捉えた。本年度は、境界条件をカイラルバッグ境界条件に替えてディラック方程式の固有値のバンド構造の変化を調べた。その結果、半量子系のチャーン数の変化(デルタ・チャーン)に対応して、量子系では、スペクトル流の概念を一般化することにより、境界条件の取り方に依らずに、指数(±１）が得られることが分かった。こうして、量子系でのディラック方程式の固有値のバンド構造の特徴的な変化と、半量子系でのデルタ・チャーンという位相的量(回転数)がうまく対応することが示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
半量子系におけるチャーン数の変化と量子系における一般化スペクトル流とが対応することが、位相的な量(写像度)とエネルギーバンドの特徴的変化が対応するという一般的な概念のもとで理解できるようになった。
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| Strategy for Future Research Activity |
ここまでの研究では、位相的な量(写像度)とエネルギーバンドの特徴的変化との対応を、特に空間２次元のディラック方程式の境界値問題を通して具体的に見てきたが、空間３次元や４次元のディラック方程式の境界値問題でも同様の対応が見られることを示したい。空間３次元、４次元のディラック方程式の境界値問題の解法には困難が伴うし、また対応する半量子系では、空間次元が４次元なら第２チャーン数の変化を、空間次元が３次元ではまた別の位相不変量の変化を考える必要がある。計算は格段に難しくなるが準備は出来ている。
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| Causes of Carryover |
次年度繰越が少額なため、使い切るよりは敢えて残すことを選んだ。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
額が少額なので、消耗品等に充当する予定である。
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