2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400073
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
酒井 高司 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (30381445)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 幾何学 / Lagrange部分多様体 / 対称空間 / 複素旗多様体 / 極小部分多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連結コンパクト半単純Lie群Gの随伴表現の軌道はLie群Gの作用で不変なKahler構造をもち、複素旗多様体と呼ばれる。複素旗多様体にはk対称空間の構造を用いて一般化された対蹠集合を定義することがでる。これまでの研究により、複素旗多様体の極大対蹠集合はLie群GのWeyl群の軌道となり、特にすべての極大対蹠集合は互いに合同であることを示した。Kahler多様体において対合的反正則等長変換の不動点集合として与えられる部分多様体を実形と呼ぶ。定義から実形は全測地的なLagrange部分多様体になる。コンパクト型対称対の線形イソトロピー表現の軌道は複素旗多様体に実形として埋め込まれ、実旗多様体と呼ばれる。入江博氏（東京電機大学）、田崎博之氏（筑波大学）との共同研究で、複素旗多様体内の合同な二つの実形の交叉が離散的になるための必要十分条件を与え、離散的であるとき交叉は対称対のWeyl群の軌道となり、対蹠集合になることを示した。さらに、井川治氏（京都工芸繊維大学）、奥田隆幸氏（広島大学）を加えた共同研究で、二つの実形が合同とは限らない場合に結果を拡張できた。
面積最小部分多様体上には一般にカレントとしての特異点が現れる。最も単純な錐状特異点を調べる目的で、球面内の部分多様体上の錐の面積最小性について研究を行った。大野晋司氏（首都大学東京）との共同研究で、面積非増加レトラクションを用いる手法により、R空間の直積上の錐が面積最小になるための一つの十分条件を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
複素旗多様体に実形として埋め込まれた実旗多様体の交叉の構造を調べた。偶数次元の複素ベクトル空間内の偶数次元複素部分空間の列のなす複素旗多様体には四元数旗多様体が実形として含まれる。この複素旗多様体において二つの四元数旗多様体の交叉を具体的に記述し、横断的に交わるための必要十分条件を与えた。さらに、二つの四元数旗多様体が横断的に交わるとき、その交叉は対称対のWeyl群の軌道となり、複素旗多様体の対蹠集合になることを示した。この結果は2014年8月に韓国のNIMSで開催されたThe ICM 2014 Satellite Conference on Real and Complex Submanifoldsにおいて研究発表を行い、入江博氏、田崎博之氏との共著論文としてSpringer Proceedings in Mathematics & Statisticsに発表した。
R空間は対称空間の線形イソトロピー表現の軌道として球面に極小に埋め込まれる。面積非増加レトラクションを構成する手法により、R空間上の錐の面積最小性を調べた。R空間の直積上の錐が面積最小になるための一つの十分条件を与え、これにより面積最小錐の新しい例が豊富に得られた。この研究成果について、大野晋司氏（首都大学東京）との共著論文を作成し、Tokyo Metropolitan Univeristy Mathematics and Information Sciences Preprint Seriesにプレプリントを発表した。
2014年6月に京都大学数理解析研究所にて研究集会「群作用と部分多様体論の展開」を開催した。研究集会の参加者たちと互いの研究情報の交換と今後のこの分野の方向性について議論を行った。Zhiwei Wu氏（Ningbo University）を招聘し、研究集会で講演を行ってもらった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究で複素旗多様体の合同な二つの実形の交叉が離散的であるとき、交叉は対称対のWeyl群の軌道となり、対蹠集合になることを示した。この結果は井川治氏がHermann作用の軌道の幾何学を調べるために導入した対称三対の概念を用いることによって、ある条件の下では二つの実形が合同とは限らない場合にも成り立つことを示すことができた。今後は実形の交叉の対蹠性を利用して、複素旗多様体内の互いに合同とは限らない二つの実形に対するLagrangian Floer homologyを計算することを目指す。さらに、これらの実形のHamilton体積最小性を調べる。この研究は井川治氏（京都工芸繊維大学）、入江博氏（東京電機大学）、奥田隆幸氏（広島大学）、田崎博之氏（筑波大学）との共同研究で行う。
余等質性1のCalabi-Yau多様体において、運動量を用いた手法により、特殊Lagrange部分多様体を構成し、その特異点の挙動を調べる。特に、Stenzelによって与えられた複素射影空間の余接束に入るCalabi-Yau計量およびSwannによって構成された余等質性1のhyperkahler計量について、その特殊Langrange部分多様体を調べる。
秋葉原微分幾何セミナーおよび研究集会「部分多様体論・2015」を開催する。これらの研究集会で関連する研究者たちと議論と情報交換を活発に行い、研究課題を推進する。
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| Causes of Carryover |
2014年8月に韓国大田で開催されたICM Satellite Conference on Real and Complex Submanifoldsに参加するための旅費を計上していたが、主催者側から滞在費の援助を受けることができたため差額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2015年10月に韓国大田のNational Institute for Mathematical Sciencesにおいて開催される予定のThe 19th International Workshop on Differential Geometryに参加するための旅費として使用する計画である。
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Research Products
(9 results)
