2014 Fiscal Year Research-status Report
可積分性にみるアファイン微分幾何と射影微分幾何の共鳴
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26400075
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| Research Institution | Kansai University |
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Principal Investigator |
藤岡 敦 関西大学, システム理工学部, 教授 (30293335)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | アファイン微分幾何 / 射影微分幾何 / 可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アファイン空間への余次元２のアファインはめ込みは２つの横断的ベクトル場を必要とするが、その内の１つとしてよく用いられるものは位置ベクトル場である。位置ベクトル場を横断的ベクトル場の１つとして選ぶ余次元２のアファインはめ込みは余次元２の中心アファインはめ込みと呼ばれる。平成２６年度の研究では、射影超曲面が局所的に余次元２のアファイン空間へ持ち上げられることに注目し、射影超曲面と余次元２の中心アファインはめ込みとの関連を問題にし、このような観点から比較的話が上手く進むと思われる野水克己、佐々木武により導入された前正規化されたブラシュケはめ込みを考えた。
３次元実射影空間内の不定値射影曲面の典型的な例として、アファイン球面や展開可能曲面といったものが古くから知られているが、平成２６年度の主要な結果として、３次元実射影空間内のアファイン球面に展開可能な不定値射影曲面が誘導接続のリッチテンソルが前正規化されたブラシュケ計量の定数倍となるというアインシュタイン条件をみたすような余次元２のアファイン空間への持ち上げをもつものとして特徴付けられることが分かった。
また、前正規化されたブラシュケはめ込みに対する中心アファイン極小性の概念が古畑仁によって与えられており、前正規化されたブラシュケはめ込みが中心アファイン極小であることと対応するアファイン型作用素のトレースが消えることが同値であることが知られている。そこで、不定値射影曲面の前正規化されたブラシュケはめ込みに対するアファイン型作用素やそのトレースが消えるための条件について、射影曲面の典型的な例である線織面、一致曲面、２つの漸近線が線形複体に属する曲面などを対象に調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２６年度は、アファイン微分幾何的な曲面を射影微分幾何的な対象とみなしたり、またはその逆を考えることによって、分類問題や特徴付け等の考察を行うことを研究計画に挙げていたが、射影曲面をアファイン空間へ持ち上げ余次元２の中心アファイン曲面とみなすことにより、アファイン微分幾何と射影微分幾何とを繋げる一つの結果を得た。高次元の場合も含めて今後の課題および進展も期待されることから、このように評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２６年度に得られた射影曲面の関する結果を更に発展させ、射影超曲面についても考察を深めていき、射影曲面について古典的に知られている事実を射影超曲面に対しても一般化していくことを試みたい。
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