2015 Fiscal Year Research-status Report
可積分性にみるアファイン微分幾何と射影微分幾何の共鳴
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26400075
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| Research Institution | Kansai University |
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Principal Investigator |
藤岡 敦 関西大学, システム理工学部, 教授 (30293335)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | アファイン微分幾何 / 射影微分幾何 / ３次形式 / 接続 / 変分問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アファイン空間内の超曲面に対しては、３次形式が重要な不変量の一つである。例えば、等積アファイン微分幾何においては、２次曲面は３次形式が消える非退化超曲面として特徴付けられ、この事実はピック・ベアワルトの定理として知られている。一方、中心アファイン微分幾何においては、３次形式が中心アファイン計量のレビ・チビタ接続に関して平行な非退化超曲面については、ジョルダン代数を用いた分類が最近になって知られるようになったが、誘導接続に関して平行な場合については、対応する偏微分方程式はかなり複雑なものとなる。そこで、平成２７年度の研究では、非退化な中心アファイン曲面を３次形式と誘導接続を用いて、特徴付けることを試みた。主結果として、３次形式が誘導接続に関して平行な非退化中心アファイン曲面は原点を中心とする楕円面または双曲面の一部となること、３次形式のトレースレス部分が誘導接続に関して再帰的な非退化中心アファイン曲面は研究代表者が以前の研究で見つけたピック不変量が消え、中心アファイン計量の曲率が１となる中心アファイン極小な線織面の一部となることが分かった。なお、この線織面は研究代表者の別の以前の研究により、射影曲面とみなしたとき、中心アファイン曲面としての随伴曲面がすべて射影極小であるという性質ももっている。一方、上記研究と平行して、アファイン空間内の中心アファイン曲線に対して、中心アファイン弧長を汎関数とする変分問題についても考察し、このような変分問題の解はアファイン空間の次元に依らず、曲率が一定となることが分かった。しかしながら、ユークリッド空間内の曲線の場合と異なり、中心アファイン弧長を用いることにより、アファイン空間に距離を入れることはできないため、このような観点からどのような興味深い幾何的構造が得られるのかについては、今後の課題としたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２７年度の研究では、平成２６年度までの研究では取り上げてこなかった２つのアプローチを用いることにより、アファイン微分幾何における新たな結果を得ることに成功し、その内の一つは研究代表者が以前の研究で得ていた射影微分幾何と関連する結果とも繋がるものであることが分かった。新たな興味深い課題も得られ、研究の進展も期待されることから、このように評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２７年度に得られた中心アファイン微分幾何に関する結果を更に発展させ、等積アファイン微分幾何などのその他のアファイン微分幾何や射影微分幾何との関連についても考察を深めて行きたい。アファイン微分幾何に関しては、しばしば研究の対象とされるアファイン基本形式が非退化なアファインはめ込みのみならず、退化したはめ込みについても焦点を当てていき、同時に射影微分幾何についても非退化性の仮定をはずした考察を行いたい。
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Research Products
(4 results)
