2016 Fiscal Year Research-status Report
可積分性にみるアファイン微分幾何と射影微分幾何の共鳴
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26400075
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| Research Institution | Kansai University |
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Principal Investigator |
藤岡 敦 関西大学, システム理工学部, 教授 (30293335)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | アファイン微分幾何 / アファイン超球面 / 中心写像 / 線織面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ユークリッド微分幾何では、ユークリッド空間内の超球面は型作用素が零ではないスカラー作用素となる超曲面として特徴付けられ、そのすべての法ベクトルは中心を通る。この類似として、アファイン微分幾何ではブラシュケ法ベクトル場を横断的ベクトル場として選ぶことにより、アファイン型作用素が零ではないスカラー作用素となるアファイン空間内のアファイン超曲面として固有なアファイン超球面が定義され、そのすべての ブラシュケ法ベクトルは中心とよばれる１点を通ることが知られている。そして、更にアファイン超球面に対する中心の概念はアファイン超曲面に対する中心写像へと一般化することができる。中心写像は中心アファイン微分幾何との相性が良く、例えば、非退化中心アファイン超曲面に対して、自己合同となる、すなわち、中心写像が元の超曲面と中心アファイン合同になるならば、チェビシェフ作用素は消えることが知られており、また、定値中心アファイン曲面の場合にはその逆も成り立つことが知られている。そこで、平成２８年度の研究では、非退化中心アファイン線織面に対する中心写像について考察し、特に、中心写像が１点または曲線となる、あるいは、原点を通る平面の一部となるという幾何学的な条件を満たすような非退化中心アファイン線織面を決定した。その中で、前者の条件の下では、中心アファイン計量の曲率が１でピック関数が消える中心アファイン極小曲面が得られ、後者の条件の下では、不定値な場合に上述の自己合同性に関する逆問題の反例の一つとして知られていた線織面が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
中心写像については具体的な計算が必要とされることが多いこともあり、本研究課題の遂行開始から平成２７年度までは対象とはしてこなかったが、平成２８年度で改めて考察することにより、射影微分幾何とも関連する線織面を幾何学的に特徴付けることに成功し、興味深い結果が得られたと言える。また、その他の幾何学的条件の下での特徴付けや高次元化など、今後の更なる研究の進展も期待されることから、このように評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２８年度に得られた非退化中心アファイン線織面に対する中心写像に関する結果を更に発展させ、中心アファイン微分幾何や等積アファイン微分幾何などのアファイン微分幾何や射影微分幾何との関連についても考察を深めて行きたい。特に、中心写像に関しては様々な幾何学的条件の下での特徴付けや高次元化について考察を行いたい。
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