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2015 Fiscal Year Research-status Report

共形平坦な超曲面の双対性と変換の研究

Research Project

Project/Area Number 26400076
Research InstitutionFukuoka University

Principal Investigator

陶山 芳彦  福岡大学, 理学部, 教授 (70028223)

Project Period (FY) 2014-04-01 – 2018-03-31
Keywordsconformal flatness / hypersurface / Guichard net / evolution equation / constant curvature / 2-metric
Outline of Annual Research Achievements

genericで共形平坦な超曲面の空間と定曲率-1を持つ(局所的)2次元リーマン計量のあるクラスとの間の1対1対応を与え、カルタンの1917年の論文以来の未解決問題に対する解答を与えた: genericで共形平坦な超曲面のGuichard netに対し、定曲率-1を持つ2次元リーマン計量の発展が対応する。また逆に、定曲率-1を持つ2次元リーマン計量のあるクラスに属する計量に対しては、その計量を初期条件としGuichard netを導く2次元リーマン計量の発展が存在する。この初期条件となる計量のクラスは定曲率-1を持つ2次元リーマン計量の中で大変大きな集合となり、このクラスの特徴づけを行った。

共形平坦な超曲面の存在はGuichard netの存在問題に帰着されるので、カルタンの未解決問題はGuichard条件を満たす3次元の共形平坦計量の存在問題と同値であり、それは複雑な3階偏微分方程式の4連立方程式の一般解を求める問題となる。この問題を幾何学で最も基本的な定曲率$-1$を持つ2次元リーマン計量の問題に帰着させて解いたことは大変価値のある結果であると思われる。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

これまでの研究で、genericで共形平坦な超曲面の局所的性質に関するカルタンの未解決問題に1つの解答を与えた。このことは、本研究課題が当初の計画以上に進行したことを示している。
これらの結果を得たことにより、本研究課題において、genericで共形平坦な超曲面に関して局所的性質と大域的性質を合わせて研究することが可能となり、今後の大域的研究の進展が大いに期待できる。

Strategy for Future Research Activity

カルタンの未解決問題を解決した方法を利用して、genericで共形平坦な超曲面とその双対超曲面の局所的関係を更に詳しく調べる。
上の課題について研究しその局所的性質と合わせることにより、genericで共形平坦な超曲面に関しての大域的性質を研究する。

Causes of Carryover

3月に研究打ち合わせのための出張を行う予定だったが, 5月に変更になったため。

Expenditure Plan for Carryover Budget

5月に変更になった出張の旅費とする.

  • Research Products

    (6 results)

All 2016 2015 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (2 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 2 results,  Open Access: 2 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (2 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 2 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Int'l Joint Research] FWF(オーストリア)

    • Country Name
      AUSTRIA
    • Counterpart Institution
      FWF
  • [Journal Article] A duality for conformally flat hypersurfaces2015

    • Author(s)
      U. Hertrich-Jeromin, Y. Suyama, M. Umehara, K.Yamada
    • Journal Title

      Beitr. Algebra Geom.

      Volume: 56 Pages: 655-676

    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Ribaucour pairs corresponding to dual pairs of conformally flat hypersurfaces2015

    • Author(s)
      U. Hertrich-Jeromin, Y. Suyama
    • Journal Title

      Geometry and analysis on manifolds, Progr. Math.

      Volume: 308 Pages: 449-469

    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Curvilinear coordinates on generic conformally flat hypersurfaces and constant curvature 2-metrics2016

    • Author(s)
      Yoshihiko Suyama
    • Organizer
      Transformations and Singularities
    • Place of Presentation
      東京工業大学(東京都目黒区)
    • Year and Date
      2016-02-19
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The space consisting of generic conformally flat hypersurfaces II2015

    • Author(s)
      陶山芳彦
    • Organizer
      福岡大学微分幾何研究会(Geometry and Analysis)
    • Place of Presentation
      福岡大学セミナーハウス(福岡県福岡市)
    • Year and Date
      2015-11-01
    • Invited
  • [Funded Workshop] Transformations and Singularities2016

    • Place of Presentation
      東京工業大学(東京都目黒区)
    • Year and Date
      2016-02-19 – 2016-02-23

URL: 

Published: 2017-01-06  

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