2015 Fiscal Year Research-status Report
写像類群、Coxeter群、Artin群のコホモロジー
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26400077
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
秋田 利之 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30279252)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
吉永 正彦 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90467647)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Coxeter群 / Artin群 / 群のコホモロジー / 交代群 / カンドル / crossed module |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究ではCoxeter群、Artin群、向きづけられた閉曲面の写像類群のコホモロジー、とくに整数係数コホモロジーとmod p コホモロジーを主な研究対象としている。本年度はCoxeter群の交代部分群のmod pコホモロジー、Coxeterカンドルの随伴群(adjoint group)、Artin群の2次のmod 2ホモロジー群、Artin群上のfree crossed moduleに焦点を当て当てた。
まず前年度に得られた有限Coxeter群の交代部分群に対するmod pコホモロジーの消滅定理をアフィンCoxeter群、ココンパクトな双曲的Coxeter群の交代部分群の場合に一般化し、応用としてCoxeter群の捻れ係数コホモロジーの消滅定理を得た(Ye Liuとの共同研究)。またLiu Yeとの共同研究で一般のArtin群のmod 2ホモロジーをHopfの定理を用いて完全に決定した。その系としてArtin群とSalvetti複体のmod 2ホモロジーが同型であることがわかった。この事実はArtin群のK(π,1)予想に対する肯定的な証拠となっている。
Coxeter群の鏡映の全体にはカンドルと呼ばれる代数系の構造が入る(以下Coxeterカンドルと呼ぶ)。カンドルの随伴群は群の表示で定義されるのでその性質を調べるのは一般には難しいが、本研究ではCoxeterカンドルの付随群を群の拡大として二通りの方法で記述した。これは対称群の場合のAndruskiewitsch等の結果とEisermannの結果の著しい一般化に相当する。
Huebschmannによりブレイド群はcrossed moduleとして一元生成であること、ブレイド群上の一元生成free crossed moduleからの標準的な射の核がブレイド群の2次のホモロジーと同型であることが示されている。本研究ではHuebschmannの結果がArtin群でも成立することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ねじれ係数コホモロジーは通常のコホモロジーに比べて著しく難しい研究対象だが、本研究の応用として重要な無限位数のCoxeter群のねじれ係数コホモロジーの消滅定理が得られた。また従来、Artin群の2次以上のホモロジーはK(π,1)予想が証明されているArtin群の場合しか計算できなかった。本研究ではK(π,1)予想の仮定なしに2次ホモロジーを決定することに成功しており、Artin群のホモロジーの研究における意義は大きい。さらにArtin群に関して得られた知見をCoxeterカンドルの付随群およびArtin群上のcrossed moduleの研究に応用することができた。これらの成果は当初の計画以上の進展と言えよう。一方で本研究のテーマの一つであったCoxeter群のホモロジー安定性はHepworthにより最近証明されてしまったが、総合すると概ね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度に得られた結果のさらなる展開を目指す。具体的には (1) Artin群の2次の整数係数ホモロジー群と (2) Artin群上のfree crossed moduleからArtin群への標準的な全射の核の表示に関する知見を得たい。(2)はHopfの定理をとおして(1)の解明に寄与する。さらに (3) Coxeterカンドルの2次のホモロジー群の決定したい。また閉曲面の写像類群はcrossed moduleとして一元生成であることが証明できる。そこで写像類群のcrossed moduleとしての構造と写像類群の中心拡大との関係を調べたい。中心拡大、crossed moduleはEuler類、Postnikov不変量といった特性類をとおして、本研究のテーマである群のコホモロジーと密接に関連する。
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| Causes of Carryover |
想定していたよりも安い値段の航空券を利用できた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究連絡の回数を一回増やすのに用いる。
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