2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400079
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
村上 斉 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
樋上 和弘 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60262151)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ジョーンズ多項式 / 結び目 / 体積予想 / チャーン・サイモンズ不変量 / ライデマイスターの捩れ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
R. Kashaev, 村上順，および研究代表者が提唱した体積予想とは，3次元球面内に埋め込まれた結び目の色付きジョーンズ多項式の漸近挙動を調べることによって，その結び目の補空間の双曲的体積が得られるであろうというものである．さらに，S. Gukovや研究代表者により，体積予想の一般化として，結び目補空間の基本群のリー群SL(2;C)への表現に対応したチャーン・サイモンズ不変量（複素体積とも呼ぶべきもので双曲体積を含む稜）とライデマイスターの捩れも得られるであろうと予想されている．ここで，SL(2;C)への表現は色付きジョーンズ多項式に代入するパラメータにexp((2πi+u)/N)によって定まる．
今年度は，反復トーラス結び目の色付きジョーンズ多項式の漸近挙動を調べた．反復トーラス結び目とは，トーラス結び目を別のトーラス結び目にはめ込むことによって得られるものであり，衛星結び目の一種である．さらに，反復トーラス結び目のチャーン・サイモンズ不変量とライデマイスターの捩れも計算し，上述の体積予想の一般化が成り立つことを確認した．
具体的には，上記結び目のN次元の色付きジョーンズ多項式にexp((2πi+u)/N) を代入した量の，Nを大きくしたときの漸近展開には，その結び目の補空間の基本群のSL(2;C)表現に対応したチャーン・サイモンズ不変量とライデマイスターの捩れが現れることが示された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
衛星結び目の簡単な場合である，反復トーラス結び目について，一般化された体積予想を示すことができた．また，これまで知られていなかった，反復トーラス結び目のライデマイスターの捩れも計算することができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
さらに複雑な衛星結び目（たとえばさらに反復回数を増やしたトーラス結び目など）に関する一般化された体積予想を示す．また，このような結び目のライデマイスターの捩れに関する公式を求める．
特にライデマイスターの捩れに関しては一般的な公式を求める必要があるかもしれない．
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| Causes of Carryover |
9月に開催した研究集会において海外から研究者を招へいする予定であったが，当該研究者が参加できなかったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
共同研究のため海外に出張する予定であり，その際に利用するつもりである．
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