2016 Fiscal Year Annual Research Report
Rigidity problem on group actions with an invariant geometric structure
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26400085
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
浅岡 正幸 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10314832)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 力学系 / 群作用 / 周期軌道 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に証明したgenericな2次元実解析的面積保存写像における周期点の増大度の結果について，写像全体の空間がBaire空間でないことが判明し，genericな系を考えることには意味がないことになってしまった．そのため，主張を多少弱めると同時に，Baire空間でなくてもうまくいくように証明を修正した．証明ではKAM不変曲線の複素拡張の定義域の下からの評価を用いて無限回の摂動の極限を考えており，その証明自体もKAM曲線の持続性の観点から興味深いものとなっている．
また昨年度に引き続いて，3次元以上の滑らかな部分双曲力学系で中立方向が1次元であるものについて．自然な条件のもとではgenericに周期点の増大度が非常に早くなることの証明の細部を埋めていった．その過程において，相空間やホモクリニック類全体での部分双曲性は本質的ではなく，周期軌道たちが適切な形でヘテリクリニック軌道で繋がれることのみが本質的であることが明らかになった．また，1次元反復写像系の場合とは異なり「中立方向の向き」をうまく定義する必要があることも明らかになり，そのための適切な定式化も行った．残念ながら最終年度までに論文を完成させるまでには至らなかったが，証明そのものは完成しており，近日中に論文誌への投稿が可能であろうと思われる．
SO(n,1)に関係する作用の剛性問題については，昨年度に引き続いて微分幾何的手法，力学系的手法，表現論的手法など様々な手法を用いて問題に挑んだが，残念ながら剛性予想の解決には至らなかった．
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