2014 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
26400086
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
藤井 道彦 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60254231)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
上 正明 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80134443)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | アルティン群 / 融合積 / 二面体群 / 増大級数 / オートマトン |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者・藤井道彦は、有限生成な離散群 G に対して、有限生成系 Γ を一つ選び、群 G の Γ に関するケーリー・グラフ X を考んがえて、X 内の測地線を考察し、群 G のオートマティック構造を構築し、群 G の増大級数 Z の計算を行った。具体的には、２以上の２つの自然数 p と q を与えると定まる、２つの無限巡回群の融合積となる群 G(p,q) について、２つの無限巡回群の融合積とみなした場合に最も自然な生成系 Γ を選んで、群 G(p,q) の増大級数の計算を行った。この群 G(p,q) は、特別な場合（すなわち、p=2 かつ q が奇数の場合）には、２面体型の Artin 群（３本ブレイド群の一般化）となるが、ここで選んだ生成系 Γ は、Artin 群とみなした場合に最も自然な生成系となるものとは異なっている。
(1) 群 G(p,q) に対応するポジティブ・モノイド G(p,q)+ が群 G(p,q) に自然に単射に埋め込めることを証明した。
(2) ポジティブ・モノイド G(p,q)+ の代表元を受理するオートマトンを構成し、G(p,q)+ の増大級数の有理関数表示を与えた。
(3) 群 G(p,q) の元の代表元が Γ に関して測地的となるための必要十分条件を記述した。
(4) 群 G(p,q) の元がただ一つだけ測地的代表元をもつための必要十分条件を記述した。
(5) 群 G(p,q) の Γ に関する球面的増大級数の有理関数表示を与えた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、幾何学的に重要な有限生成離散群 G に対して、有限生成系 Γ を選んで、群 G の Γ に関するケーリー・グラフ X のトポロジーを考察し、群 G の測地的オートマトンを構築すること及び群 G の Γ に関する増大級数 Z の有理関数表示を求めることを目的としている。特に、群 G として、(1) Artin 群、(2) 写像類群に的を絞って、群 G の増大級数を求めることが目的である。２０１４年度の研究では、(1) の Artin 群については、結び理論とも密接に関連する場合に関して、結び目理論的に自然な生成系 Γ に関する増大級数の有理関数表示を具体的に求めることができた。その点で、本研究はおおむね順調に進展していると言える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
本研究では、幾何学的に重要な有限生成離散群 G に対して、有限生成系 Γ を選んで、群 G の Γ に関するケーリー・グラフ X のトポロジーを考察し、群 G の測地的オートマトンを構築すること及び群 G の Γ に関する増大級数 Z の有理関数表示を求めることを目的としている。特に、群 G として、(1) Artin 群、(2) 写像類群に的を絞って、群 G の増大級数を求めることが目的である。
今後の研究の推進方策を具体的に述べると、
(1) の Artin の場合に関しては、２０１４年度に得られた増大級数の有理関数表示の分母の多項式に関して、さらに考察を深めて、組合せ論的および数論的側面からの研究を行っていく予定である。
(2) の写像類群に関しては、比較的扱いやすい例、例えば、穴あき球面の写像類群に的を絞って、自然な生成系に関する群の元の測地性の条件を追求していく予定である。
|
| Causes of Carryover |
写像類群の測地的オートマトンの作成が思うように進んでいないので、海外の専門家との討論の機会を持つことができなかった。そのために、申請時に予定していた外国旅費を使用しなかったことにより、次年度使用額が生じた。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
写像類群の測地的オートマトンの作成に関する研究計画を進めて、海外の専門家と討論する場を設ける予定である。まずは、海外から専門家を招へいし、離散群の増大級数に関する研究集会を開催する（外国旅費；招へい）。研究代表者・藤井が海外の専門家と討論すべく、専門家のもとを訪ねる予定である（外国旅費）。
|
