2016 Fiscal Year Annual Research Report
The geometric and dynamical decomposition of the character variety of surface groups
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26400088
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 双曲幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面Σの基本群πからリー群Gへの表現全体の空間Hom(π, G)には群Gが共役により作用する。この作用による幾何学的不変式論の意味での商空間Xを指標多様体地う。この指標多様体を、表現の像が離散群になる部分とそうでない部分に分割すると、前者はΣのG構造の変形の空間とみなすことができる。特にGがSL(2, C)の場合は双曲幾何構造の変形空間であり、重要な研究対象である。また、指標多様体には曲面Σの写像類群が自然に作用し、この作用の複雑さによっても指標多様体は２つに分割される。これら２つの関係は未解明な部分が多い。
平成２８年度においては、２元生成メビウス変換群のヨルゲンセン数に関する研究を行った。この数値は、指標多様体の像が離散群になるための十分条件の一つを与えるもので、クライン群論において基本的なものである。しかし、どのような値が離散的２元生成メビウス変換群で実現されるのかについては、これまで十分な結果が得られていなかった。例えば一部分の実現に関する主張は約１０年ほど前に国内の研究者によって既になされていたが、学術論文として出版はされておらず、最近はこの方面の進展がやや停滞していた。特に離散的な場合と非離散的な場合の境界付近に対応するヨルゲンセン数の実現は古典的なショットキー群では不可能という予想もあり、難しいというのがこれまでの現状であった。
本研究代表者は、学習院大学高等部の山崎氏と共にこの問題に取り組み、ヨルゲンセン数の実現問題に関する完全な解決を得た。さらに、計算機実験によって放物型ヨルゲンセン群に関してこれまで主張されていたある予想の判例の候補を複数与えることに成功した。これらの結果はクライン群論における知見を広げると共に、今後の新しい研究の方向性を示唆するものである。
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